Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €6 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1 % per jaar. Het vereiste rendement is 7 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €6 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €250 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 13? Bereken de restschuld B.
P = €250 0002,4% / 12N = 300k = 156
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €13 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €20 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €20 000CF = €8 500n = 3
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5,5%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €960. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 7% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
D/E = 1re = 14%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €19,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 4%rm = 8,5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 57, 49, 53, 24, 30.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 77,2.
μ = 70σ = 12x = 77,2
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 6? De volgorde doet er niet toe.
n = 6k = 2
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,25 en €10 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,25€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 436 en 548 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 548
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 118,5 en standaardafwijking s = 13,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 8x̄ = 118,5s = 13,595%t(7) = 2,365
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 50,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 13 proefvelden, gemiddelde 42,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 128,7 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 496,2. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 496,2σ = 10n = 3690%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 106Σx² = 91Σy² = 2092Σxy = 310
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 100000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 300 − 156 = 144
B = 1109·(1 − (1 + 0,002)−144)/0,002 = €138 636,75
Antwoord
B = €138 636,75
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 60000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 13 000/(0,08 − 0,03) = 260 000,00
NPV
NPV = 260 000,00 − 200 000 = €60 000,00
Antwoord
NPV = €60 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 13,21 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 20 000/8 500 = 2,353
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 13%: 2,361
i = 14%: 2,322
IRR = 13,21%
Antwoord
IRR = 13,21%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1022 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,0275, N = 10
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €259,20
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7624 = €762,40
Koers
P = €1 021,60
Antwoord
P = €1 021,60
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,482 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€960 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(5%) = €972,77, P(6%) = €946,54
YTM = 5,482%
Antwoord
YTM = 5,482%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,765 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·7%·(1 − 0,21) = 9,765%
Antwoord
WACC = 9,765%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,105 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€19,00 = €95 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 4% + 1,2·4,5% = 9,4%
Gewichten
V = €100 000 000, E/V = 0,95, D/V = 0,05
WACC
WACC = 0,95·9,4% + 0,05·5%·(1 − 0,3) = 9,105%
Antwoord
WACC = 9,105%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,67
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (77,2 − 70)/12 = 0,6
Antwoord
z = 0,6
11.Kansrekening
Antwoord: N = 15
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Antwoord
N = 15
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,3 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = −0,3 €
Antwoord
E(G) = −0,3 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8301
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301
Antwoord
P = 0,8301
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 26,95 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Antwoord
x = 26,95 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 107,2
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Foutmarge
E = 2,365·13,5/√8 = 11,29
Interval
118,5 ± 11,29 → [107,2, 129,8]
Antwoord
ondergrens = 107,2
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 9,984 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (8·9,5² + 12·7²)/20 = 65,5
sp = 8,093
Foutmarge
E = 2,845·8,093·√(1/9 + 1/13) = 9,984
Antwoord
E = 9,984 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Toetsingsgrootheid
t = (128,7 − 120)/3 = 2,9
Antwoord
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 498,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·10/√36 = 2,742
Intervalgrens
U = 496,2 + 2,742 = 498,9
Antwoord
U = 498,9
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9846
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 310 − 21·106/6 = −61
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2092 − 106²/6 = 219,3
Correlatiecoëfficiënt
r = −61/√(17,5·219,3) = −0,9846
Antwoord
r = −0,9846
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 22,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 75/5 = 15
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Regressielijn
b = 104/40 = 2,6
a = 15 − 2,6·6 = −0,6
ŷ = −0,6 + 2,6·x
Voorspelling
ŷ = −0,6 + 2,6·9 = 22,8
Antwoord
ŷ = 22,8
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.