Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 7 jaar.
PV = €1 0006% / 4n = 7
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €10 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €10 0002,4% / 12N = 72
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €36 000, €30 000, €32 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €10 000, €12 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €940. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €25,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 9%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 28, 49, 48, 48, 26, 21, 59.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 94?
μ = 100σ = 12x = 94
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €10 met kans 0,1 en €250 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€10: p = 0,1€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 200,8 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,8 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 73,5 en standaardafwijking s = 3,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 15x̄ = 73,5s = 3,599%t(14) = 2,977
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 23. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 199 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 103,6. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 103,6σ = 20n = 10090%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (6,5, 66) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(6,5, 66)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1517 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,002, N = 72
A = 10 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−72) = €149,27
Totale rente
I = N·A − P = 72·149,3 − 10 000 = €747,25
Antwoord
I = €747,25
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 28567 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 36 000/1,08 = 33 333,33
CF2/(1 + 0,08)2 = 30 000/1,166 = 25 720,16
CF3/(1 + 0,08)3 = 32 000/1,26 = 25 402,63
CF4/(1 + 0,08)4 = 26 000/1,36 = 19 110,78
Optellen
NPV = €28 566,91
Antwoord
NPV = €28 566,91
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 7,916 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 861,68
NPV(10%) = −578,51
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 5 + 5·861,68/(861,68 − (−578,51)) = 7,992%
exact: NPV(7,916%) = 0 → IRR = 7,916%
Antwoord
IRR = 7,916%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 944 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,02, N = 6
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,888)/0,02 = €56,01
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,888 = €887,97
Koers
P = €943,99
Antwoord
P = €943,99
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,565 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,565%
Antwoord
YTM = 9,565%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,591 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€25,50 = €63 750 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 0,8·7% = 7,6%
Gewichten
V = €102 150 000, E/V = 0,6241, D/V = 0,3759
WACC
WACC = 0,6241·7,6% + 0,3759·6%·(1 − 0,2) = 6,547%
Antwoord
WACC = 6,547%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,55
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7209
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Antwoord
P = 0,7209
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 1 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 5 (p = 0,1), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,88)
Verwachtingswaarde
E(G) = 5·0,1 + 245·0,02 − 5·0,88 = 1 €
Antwoord
E(G) = 1 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,0548
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6
Rechterstaart
P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548
Antwoord
P = 0,0548
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 261,6 g
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Terug naar x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Antwoord
x = 261,63 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,69
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Foutmarge
E = 2,977·3,5/√15 = 2,69
Antwoord
E = 2,69
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 878
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·23/2)² = 877,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 878
Antwoord
n = 878
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,75
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Toetsingsgrootheid
t = (199 − 200)/0,5714 = −1,75
Antwoord
t = −1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 106,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·20/√100 = 3,29
Intervalgrens
U = 103,6 + 3,29 = 106,9
Antwoord
U = 106,9
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9947
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 365/6 = 60,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2511
Correlatiecoëfficiënt
r = 417/√(70·2511) = 0,9947
Antwoord
r = 0,9947
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 5,21
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 314/6 = 52,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Regressielijn
b = 74/17,5 = 4,229
a = 52,33 − 4,229·4,5 = 33,3
ŷ = 33,3 + 4,229·x
Voorspelde waarde
ŷ = 33,3 + 4,229·6,5 = 60,79
Residu
e = 66 − 60,79 = 5,21
Antwoord
e = 5,21
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.