Je hebt over 8 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0006% / 4n = 8
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €25 000 tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €325 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €25 000A = €3255,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €11 000, €10 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €14 500, €14 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 14 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 7%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 095. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,4 heeft een vereist rendement van 10,4%. De risicovrije rente is 2%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,4re = 10,4%rf = 2%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €31,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 42, 42, 59, 18, 31.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 37,5?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,3, 0,2, 0,2
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €2 inzet. Je wint €10 met kans 0,3 en €40 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €2€10: p = 0,3€40: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 757,9 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757,9 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 34 en standaardafwijking s = 16,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 34s = 16,590%t(19) = 1,729
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 22. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 497,8 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 58,8. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 58,8σ = 20n = 2590%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 16?
n = 6ŷ = 16
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 31050 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·8 = 32
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,61 = €31 049,65
Antwoord
PV = €31 049,65
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 95 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0045/325 = 0,6538
Los op met logaritmen
N = −ln(0,6538)/ln(1,004) = 94,63
Rond naar boven af op hele betalingen
94 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 95
Antwoord
N = 95 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −4845 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 11 000/1,06 = 10 377,36
CF2/(1 + 0,06)2 = 10 000/1,124 = 8 899,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 7 000/1,191 = 5 877,33
Optellen
NPV = €−4 845,34
Antwoord
NPV = €−4 845,34
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 10,49 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 165,29
NPV(15%) = −1 427,22
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,035, N = 6
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,8135)/0,035 = €119,89
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8135 = €813,50
Koers
P = €933,39
Antwoord
P = €933,39
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,504 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Antwoord
YTM = 2,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 8 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (10,4% − 2%)/1,4 = 6%
Marktrendement
rm = 2% + 6% = 8%
Antwoord
rm = 8%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,17 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€31,50 = €31 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 0,9·4% = 7,1%
Gewichten
V = €41 500 000, E/V = 0,759, D/V = 0,241
WACC
WACC = 0,759·7,1% + 0,241·4,5%·(1 − 0,28) = 6,17%
Antwoord
WACC = 6,17%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 15,18
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,727
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 8 (p = 0,3), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)
Verwachtingswaarde
E(G) = 8·0,3 + 38·0,05 − 2·0,65 = 3 €
Antwoord
E(G) = 3 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,2119
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8
Rechterstaart
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Antwoord
P = 0,2119
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 542 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,85
z uit de tabel
z ≈ 1,04
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 + 1,04·40 = 542 h
Antwoord
x = 542 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 27,62
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Foutmarge
E = 1,729·16,5/√20 = 6,379
Interval
34 ± 6,379 → [27,62, 40,38]
Antwoord
ondergrens = 27,62
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 5239
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·22/0,5)² = 5239
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 5239
Antwoord
n = 5239
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −0,88
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Toetsingsgrootheid
t = (497,8 − 500)/2,5 = −0,88
Antwoord
t = −0,88
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 52,22
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Intervalgrens
L = 58,8 − 6,58 = 52,22
Antwoord
L = 52,22
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9745
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46
Syy = Σ(y − ȳ)² = 127,3
Correlatiecoëfficiënt
r = −46/√(17,5·127,3) = −0,9745
Antwoord
r = −0,9745
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,859
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 136/6 = 22,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
Regressielijn
b = 218/70 = 3,114
a = 22,67 − 3,114·7 = 0,8667
ŷ = 0,8667 + 3,114·x
Los op naar x
x = (16 − 0,8667)/3,114 = 4,859
Antwoord
x = 4,859
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.