Een creditcard rekent een nominale rente van 17,5 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €200 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €200 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €18 000, €21 000, €31 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €28 000, €23 000, €26 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 23 000CF3 = 26 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 4%n = 9
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €915. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €915
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €6 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €14,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 9%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 32, 51, 12, 55, 33.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 103?
μ = 100σ = 5x = 103
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 5. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,6554 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,6554
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 60% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten60%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 20,5 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 11x̄ = 20,5s = 295%t(10) = 2,228
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 62,5 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 57 kg, standaardafwijking 3 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 498,6 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 51,1. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 51,1σ = 4n = 10090%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 18,27 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Antwoord
EAR = 18,27%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1078 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 200 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 077,88
Antwoord
A = €1 077,88
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −16873 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 18 000/1,09 = 16 513,76
CF2/(1 + 0,09)2 = 21 000/1,188 = 17 675,28
CF3/(1 + 0,09)3 = 31 000/1,295 = 23 937,69
Optellen
NPV = €−16 873,27
Antwoord
NPV = €−16 873,27
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 42,42 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 1 209,91
NPV(45%) = −1 221,86
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,02, N = 18
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,7002)/0,02 = €224,88
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7002 = €700,16
Koers
P = €925,04
Antwoord
P = €925,04
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,019 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99
YTM = 6,019%
Antwoord
YTM = 6,019%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,278 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwoord
P = 0,2743
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,04
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,4
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,8
Variantie
Var(X) = 6,8 − 2,4² = 1,04
Antwoord
Var(X) = 1,04
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 0,6727
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,6554 = 0,3446
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,3446 in de tabel en lees z af.
z = −0,40
Antwoord
z = −0,40
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 67,5 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,6
z uit de tabel
z ≈ 0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 + 0,25·10 = 67,5 punten
Antwoord
x = 67,5 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 19,16
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Foutmarge
E = 2,228·2/√11 = 1,344
Interval
20,5 ± 1,344 → [19,16, 21,84]
Antwoord
ondergrens = 19,16
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 1,836 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (9·4,5² + 5·3²)/14 = 16,23
sp = 4,029
Foutmarge
E = 1,761·4,029·√(1/10 + 1/6) = 3,664
Interval
5,5 ± 3,664 → [1,836, 9,164]
Antwoord
ondergrens = 1,836 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,24
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Toetsingsgrootheid
t = (498,6 − 500)/0,625 = −2,24
Antwoord
t = −2,24
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 51,76
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·4/√100 = 0,658
Intervalgrens
U = 51,1 + 0,658 = 51,76
Antwoord
U = 51,76
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9249
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 311/5 = 62,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Syy = Σ(y − ȳ)² = 456,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 65²/(10·456,8) = 0,9249
Antwoord
r² = 0,9249
Ongeveer 92,49% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 18,33
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 110/6 = 18,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60
Regressielijn
b = −60/17,5 = −3,429
a = 18,33 − (−3,429)·3,5 = 30,33
ŷ = 30,33 − 3,429·x
Voorspelling
ŷ = 30,33 + (−3,429)·3,5 = 18,33
Antwoord
ŷ = 18,33
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.