Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €6 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 4 % per jaar. Het vereiste rendement is 7 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €6 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €12 000, €12 000, €19 000, €18 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 500, €5 500, €6 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 6%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 17 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 293. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 293aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €17,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 8%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 58, 39, 52, 46.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 75?
μ = 60σ = 10x = 75
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.
n = 8k = 3
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,15 en €500 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€40: p = 0,15€500: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178,35 en 188,5 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 188,5
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 20% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 117,5 en standaardafwijking s = 14. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 12x̄ = 117,5s = 1499%t(11) = 3,106
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 61, standaardafwijking 7,5. Groep 2: 5 studenten, gemiddelde score 50,9, standaardafwijking 6,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 118,7. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 118,7σ = 10n = 10099%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 66?
n = 5ŷ = 66
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 200000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €808,41
Antwoord
A = €808,41
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 7211 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 12 000/1,06 = 11 320,75
CF2/(1 + 0,06)2 = 12 000/1,124 = 10 679,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 19 000/1,191 = 15 952,77
CF4/(1 + 0,06)4 = 18 000/1,262 = 14 257,69
Optellen
NPV = €7 211,16
Antwoord
NPV = €7 211,16
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 38,55 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 474,52
NPV(40%) = −182,22
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 35 + 5·474,52/(474,52 − (−182,22)) = 38,61%
exact: NPV(38,55%) = 0 → IRR = 38,55%
Antwoord
IRR = 38,55%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1126 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,03, N = 16
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,6232)/0,03 = €502,44
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6232 = €623,17
Koers
P = €1 125,61
Antwoord
P = €1 125,61
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 50 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1293 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Los numeriek op
y = 50%: €415,56
y = 50%: €415,56
YTC = 50%
Antwoord
YTC = 50%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 4,498%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,224 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: N = 56
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
Antwoord
N = 56
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 6 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 30 (p = 0,15), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)
Verwachtingswaarde
E(G) = 30·0,15 + 490·0,02 − 10·0,83 = 6 €
Antwoord
E(G) = 6 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,4133
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,5) − Φ(0,05) = 0,9332 − 0,5199 = 0,4133
Antwoord
P = 0,4133
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 534 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,8
z uit de tabel
z ≈ 0,84
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Antwoord
x = 534 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 130,1
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Foutmarge
E = 3,106·14/√12 = 12,55
Interval
117,5 ± 12,55 → [104,9, 130,1]
Antwoord
bovengrens = 130,1
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 183
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·21/4)² = 182,9
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 183
Antwoord
n = 183
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,591
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (10·7,5² + 4·6,5²)/14 = 52,25
sp = 7,228
Standaardfout
SE = 7,228·√(1/11 + 1/5) = 3,899
Toetsingsgrootheid
t = (61 − 50,9)/3,899 = 2,591
Antwoord
t = 2,591
Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 121,3
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·10/√100 = 2,576
Intervalgrens
U = 118,7 + 2,576 = 121,3
Antwoord
U = 121,3
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,7875
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 316/5 = 63,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 234,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 43²/(10·234,8) = 0,7875
Antwoord
r² = 0,7875
Ongeveer 78,75% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,375
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 324/5 = 64,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32
Regressielijn
b = 32/10 = 3,2
a = 64,8 − 3,2·4 = 52
ŷ = 52 + 3,2·x
Los op naar x
x = (66 − 52)/3,2 = 4,375
Antwoord
x = 4,375
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.