Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 2 jaar.
PV = €2 0004% / 4n = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 23? Bereken de restschuld B.
P = €300 0002,4% / 12N = 360k = 276
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €28 000, €29 000, €27 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €18 000, €16 000, €16 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 16 000CF3 = 16 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 5%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €1 165. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 9P = €1 165
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
D/E = 0,75re = 13%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €13,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 6,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 25, 11, 23, 56, 56.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 200?
μ = 170σ = 20x = 200
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.
n = 13k = 4
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,25 en €10 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,25€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,8461 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,8461
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,7. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 100 waarnemingen gebruikt?
90%n₁ = 25E₁ = 7,7n₂ = 100
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 18. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 507,2 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 1,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (11, 31) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(11, 31)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2166 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,04/4 = 0,01
N = m·n = 4·2 = 8
Eindwaarde
FV = 2 000·(1 + 0,01)8 = 2 000·1,083 = €2 165,71
Antwoord
FV = €2 165,71
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 90371 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 276 = 84
B = 1170·(1 − (1 + 0,002)−84)/0,002 = €90 371,44
Antwoord
B = €90 371,44
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 16294 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 28 000/1,05 = 26 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 29 000/1,103 = 26 303,85
CF3/(1 + 0,05)3 = 27 000/1,158 = 23 323,62
Optellen
NPV = €16 294,14
Antwoord
NPV = €16 294,14
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 45,92 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(45%) = 272,05
NPV(50%) = −1 148,15
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,025, N = 22
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €586,79
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5809 = €580,86
Koers
P = €1 167,65
Antwoord
P = €1 167,65
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 1,98 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 165 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(1%) = €1 256,98, P(2%) = €1 163,24
YTM = 1,98%
Antwoord
YTM = 1,98%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,971 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·13% + 0,4286·5%·(1 − 0,28) = 8,971%
Antwoord
WACC = 8,971%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,575 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€13,50 = €13 500 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,5·4% = 8,5%
Gewichten
V = €33 500 000, E/V = 0,403, D/V = 0,597
WACC
WACC = 0,403·8,5% + 0,597·5%·(1 − 0,28) = 5,575%
Antwoord
WACC = 5,575%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 18,43
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: N = 715
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715
Antwoord
N = 715
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,3 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = −0,3 €
Antwoord
E(G) = −0,3 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = −1,02
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,8461 = 0,1539
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,1539 in de tabel en lees z af.
z = −1,02
Antwoord
z = −1,02
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 256,4 g
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Terug naar x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Antwoord
x = 256,41 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 3,85
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/100) = 0,5
Nieuwe marge
E₂ = 7,7·0,5 = 3,85
Antwoord
E₂ = 3,85
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 55
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·18/4)² = 54,8
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 55
Antwoord
n = 55
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,4
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Toetsingsgrootheid
t = (507,2 − 500)/3 = 2,4
Antwoord
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 43
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·5/1,5)² = 42,68
Naar boven afronden
n = 43
Antwoord
n = 43
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9911
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 447/5 = 89,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1995
Correlatiecoëfficiënt
r = 420/√(90·1995) = 0,9911
Antwoord
r = 0,9911
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 5,324
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Regressielijn
b = 146/70 = 2,086
a = 17,33 − 2,086·7 = 2,733
ŷ = 2,733 + 2,086·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,733 + 2,086·11 = 25,68
Residu
e = 31 − 25,68 = 5,324
Antwoord
e = 5,324
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.