Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €12 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 2 % per jaar. Het vereiste rendement is 7 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €12 000g = 2%r = 7%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 5? Bereken de restschuld B.
P = €300 0005,4% / 12N = 360k = 60
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €22 000, €25 000, €13 000, €15 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €12 500, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 15 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 9%n = 7
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €940 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,8 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten daalt.
P0 = €940y = 7%D = 3,8Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 8,4%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €54,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 10,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 28, 52, 37, 35, 31, 26.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 62.
μ = 70σ = 8x = 62
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,25, 0,05
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 9p = 0,5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 50,5 en 67,5 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 67,5
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 3. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 324 waarnemingen gebruikt?
90%n₁ = 36E₁ = 3n₂ = 324
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5,6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.
Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 187,6 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
In een onderzoek herstellen 180 van de 300 patiënten met behandeling A en 67 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 67n₂ = 100
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 30Σy = 54Σx² = 220Σy² = 658Σxy = 378
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 240000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 60 = 300
B = 1685·(1 − (1 + 0,0045)−300)/0,0045 = €277 011,92
Antwoord
B = €277 011,92
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 5801 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 22 000/1,06 = 20 754,72
CF2/(1 + 0,06)2 = 25 000/1,124 = 22 249,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 13 000/1,191 = 10 915,05
CF4/(1 + 0,06)4 = 15 000/1,262 = 11 881,40
Optellen
NPV = €5 801,08
Antwoord
NPV = €5 801,08
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 6,394 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 510,20
NPV(10%) = −1 239,67
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,045, N = 14
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,54)/0,045 = €255,57
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,54 = €539,97
Koers
P = €795,54
Antwoord
P = €795,54
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 973,4 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,8/1,07 = 3,551
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −3,551·(−0,01) = 3,551%
P ≈ 940·(1 + 0,03551) = €973,38
Antwoord
P = €973,38
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,5·6%·(1 − 0,2) = 2,4%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,4% − 2,4%)/0,5 = 12%
Antwoord
re = 12%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,927 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€54,50 = €272 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 0,8·7% = 9,1%
Gewichten
V = €282 500 000, E/V = 0,9646, D/V = 0,0354
WACC
WACC = 0,9646·9,1% + 0,0354·6%·(1 − 0,3) = 8,927%
Antwoord
WACC = 8,927%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 10,02
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (62 − 70)/8 = −1
Antwoord
z = −1
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,55
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
Tel ze op
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
Antwoord
P = 0,01953
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,5252
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 punten
Antwoord
x = 75,33 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/324) = 0,3333
Nieuwe marge
E₂ = 3·0,3333 = 1
Antwoord
E₂ = 1
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 7,528 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 29·5,6² = 909,4
Grenzen voor σ²
909,4/45,722 = 19,89
909,4/16,047 = 56,67
Grens voor σ
σ = √56,67 = 7,528 µm
Antwoord
σ = 7,528 µm
95%-interval voor σ: [4,46, 7,528] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Toetsingsgrootheid
t = (187,6 − 200)/4 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,247
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 180/300 = 0,6
p̂₂ = 67/100 = 0,67
p̂ = 247/400 = 0,6175
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,6175·0,3825·(1/300 + 1/100)) = 0,05612
Toetsingsgrootheid
z = (0,6 − 0,67)/0,05612 = −1,247
Antwoord
z = −1,247
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9872
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 378 − 30·54/5 = 54
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 658 − 54²/5 = 74,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 54/√(40·74,8) = 0,9872
Antwoord
r = 0,9872
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 59,25
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 310/5 = 62
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Regressielijn
b = 110/40 = 2,75
a = 62 − 2,75·6 = 45,5
ŷ = 45,5 + 2,75·x
Voorspelling
ŷ = 45,5 + 2,75·5 = 59,25
Antwoord
ŷ = 59,25
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.