Een annuïteit betaalt 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 000. De rente is 8 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €2 000i = 8%n = 6
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €20 000 tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €450 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €20 000A = €4502,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €500 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €30 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €500 000CF1 = €30 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €16 500, €14 000, €11 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 14 000CF3 = 11 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €870. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 10P = €870
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €15,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 7,5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 54, 43, 17, 14, 27, 45.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 46.
μ = 50σ = 8x = 46
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,35, 0,05
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 8p = 0,1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 85,75 en 123,25 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 123,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 104 en standaardafwijking s = 15,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 21x̄ = 104s = 15,590%t(20) = 1,725
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 117,8 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 493,6. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 493,6σ = 20n = 2590%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 351Σx² = 91Σy² = 20889Σxy = 1302
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 65?
n = 5ŷ = 65
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 9246 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6302)/0,08 = 4,623
Contante waarde
PV = 2 000·4,623 = €9 245,76
Antwoord
PV = €9 245,76
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 47 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,002/450 = 0,9111
Los op met logaritmen
N = −ln(0,9111)/ln(1,002) = 46,59
Rond naar boven af op hele betalingen
46 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 47
Antwoord
N = 47 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 100000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 30 000/(0,08 − 0,03) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Antwoord
NPV = €100 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 33,65 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 210,74
NPV(35%) = −421,94
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,035, N = 22
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €303,34
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4692 = €469,15
Koers
P = €772,49
Antwoord
P = €772,49
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,028 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€870 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66
YTM = 9,028%
Antwoord
YTM = 9,028%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,06 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·3%·(1 − 0,258) = 11,06%
Antwoord
WACC = 11,06%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,992 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (46 − 50)/8 = −0,5
Antwoord
z = −0,5
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 0,8718
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,2
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,2
Variantie
Var(X) = 2,2 − 1,2² = 0,76
σ = √0,76 = 0,8718
Antwoord
σ = 0,8718
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,8131
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,98 = 0,4305
P(X = 1) = 8·0,1·0,97 = 0,3826
Tel ze op
P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131
Antwoord
P = 0,8131
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7684
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684
Antwoord
P = 0,7684
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9452
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Antwoord
P = 0,9452
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,835
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Foutmarge
E = 1,725·15,5/√21 = 5,835
Antwoord
E = 5,835
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 2,322 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 15·1,5² = 33,75
Grenzen voor σ²
33,75/27,488 = 1,228
33,75/6,262 = 5,39
Grens voor σ
σ = √5,39 = 2,322 µm
Antwoord
σ = 2,322 µm
95%-interval voor σ: [1,108, 2,322] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,76
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Toetsingsgrootheid
t = (117,8 − 120)/1,25 = −1,76
Antwoord
t = −1,76
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 500,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Intervalgrens
U = 493,6 + 6,58 = 500,2
Antwoord
U = 500,2
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9319
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1302 − 21·351/6 = 73,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 20889 − 351²/6 = 355,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 73,5/√(17,5·355,5) = 0,9319
Antwoord
r = 0,9319
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,429
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 280/5 = 56
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63
Regressielijn
b = 63/10 = 6,3
a = 56 − 6,3·3 = 37,1
ŷ = 37,1 + 6,3·x
Los op naar x
x = (65 − 37,1)/6,3 = 4,429
Antwoord
x = 4,429
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.