Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €5 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €8 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €8 0005,4% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000. Ze levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €12 500 op en kan daarna voor €8 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €40 000CF = €12 500S = €8 000n = 4r = 12%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Project A kost €30 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €16 500, €12 000, €7 000 op. Project B kost €35 000 en levert €9 000, €13 500, €20 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5,5% naar 7,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 4y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 060 met een effectief rendement van 5% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 9,9 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten stijgt.
P0 = €1 060y = 5%D = 9,9Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €26,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €15 600 000. Ze heeft net een dividend van €0,70 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €26 000 000 en kosten vóór belasting van 6%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 52, 51, 58, 25, 32.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 195?
μ = 170σ = 20x = 195
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 8 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
8 / 9
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €5 met kans 0,25 en €50 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€5: p = 0,25€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan groter is dan 316,6 g. Rond z af op twee decimalen.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8> 316,6 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 47,5 h, bekende standaardafwijking 10 h. Model 2: 60 telefoons, gemiddelde 61,5 h, bekende standaardafwijking 14 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?
16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,63 en de standaardafwijking van de verschillen is 2,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 497,9. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 497,9σ = 8n = 3695%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 94Σx² = 91Σy² = 1614Σxy = 282
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 8?
n = 6ŷ = 8
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6660 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8508
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €241,21
Antwoord
A = €241,21
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 3051 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
12 500·3,037 = 37 966,87
Contante waarde van de restwaarde
8 000/1,574 = 5 084,14
NPV
NPV = −40 000 + 37 966,87 + 5 084,14 = €3 051,01
Antwoord
NPV = €3 051,01
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 8,228 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 16 500 = −7 500
ΔCF2 = 13 500 − 12 000 = 1 500
ΔCF3 = 20 500 − 7 000 = 13 500
IRR van het verschil
NPVΔ(8%) = 58,30
NPVΔ(9%) = −193,74
r* = 8,228%
Antwoord
r* = 8,228%
Controle: bij 8,228% zijn beide NCW’s €1 012,27.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −70,88 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 9,9/1,05 = 9,429
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −9,429·(0,0025) = −2,357%
P ≈ 1060·(1 − 0,02357) = €1 035,01
Antwoord
P = €1 035,01
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,284 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 0,7·1,04 = €0,73
re = 0,728/26 + 0,04 = 6,8%
Marktwaarden
E = 1 000 000·€26,00 = €26 000 000
V = €52 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·6,8% + 0,5·6%·(1 − 0,258) = 5,626%
Antwoord
WACC = 5,626%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 15,74
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,25
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Antwoord
P = 0,8944
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2059
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
Antwoord
P = 0,2059
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,75 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 4 (p = 0,25), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)
Verwachtingswaarde
E(G) = 4·0,25 + 49·0,01 − 1·0,74 = 0,75 €
Antwoord
E(G) = 0,75 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Standaardiseren
z = (316,6 − 320)/3,394 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaardiseren
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Antwoord
P = 0,7389
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −17,4 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 47,5 − 61,5 = −14
Standaardfout
SE = √(10²/100 + 14²/60) = 2,066
Foutmarge
E = 1,645·2,066 = 3,398
Interval
−14 ± 3,398 → [−17,4, −10,6]
Antwoord
ondergrens = −17,4 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401
Naar boven afronden
n = 2401
Antwoord
n = 2401
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,105
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 2,1/√16 = 0,525
Toetsingsgrootheid
t = 1,63/0,525 = 3,105
Antwoord
t = 3,105
Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 500,5
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·8/√36 = 2,613
Intervalgrens
U = 497,9 + 2,613 = 500,5
Antwoord
U = 500,5
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9451
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 282 − 21·94/6 = −47
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1614 − 94²/6 = 141,3
Correlatiecoëfficiënt
r = −47/√(17,5·141,3) = −0,9451
Antwoord
r = −0,9451
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 2,79
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 83/6 = 13,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97
Regressielijn
b = 97/70 = 1,386
a = 13,83 − 1,386·7 = 4,133
ŷ = 4,133 + 1,386·x
Los op naar x
x = (8 − 4,133)/1,386 = 2,79
Antwoord
x = 2,79
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.