Een annuïteit betaalt 15 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 000. De rente is 7 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €2 000i = 7%n = 15
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €150 0007,2% / 12N = 360
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €17 000, €23 000, €29 000, €16 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €4 000, €6 000, €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 6 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 5,5%n = 12
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 430. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 11P = €1 430
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €50,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 9,5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 51, 48, 35, 35, 39, 20, 22.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 172.
μ = 170σ = 5x = 172
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €5 met kans 0,2 en €10 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€5: p = 0,2€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 111,4 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111,4 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 75% ervan ligt (het 75e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 138,5 h, bekende standaardafwijking 18 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 141,5 h, bekende standaardafwijking 7 h. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 19. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 44,86 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,05 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 18. In werkelijkheid is het gemiddelde 108,1. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 100μ = 108,1σ = 18n = 36α = 0,05
β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 1) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(3, 1)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 18216 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3624)/0,07 = 9,108
Contante waarde
PV = 2 000·9,108 = €18 215,83
Antwoord
PV = €18 215,83
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 216546 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 17 000/1,09 = 15 596,33
CF2/(1 + 0,09)2 = 23 000/1,188 = 19 358,64
CF3/(1 + 0,09)3 = 29 000/1,295 = 22 393,32
CF4/(1 + 0,09)4 = 16 000/1,412 = 11 334,80
Optellen
NPV = €−6 316,91
Antwoord
NPV = €−6 316,91
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 28,79 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 624,00
NPV(30%) = −186,62
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 25 + 5·624,00/(624,00 − (−186,62)) = 28,85%
exact: NPV(28,79%) = 0 → IRR = 28,79%
Antwoord
IRR = 28,79%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1218 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,0275, N = 24
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €696,03
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5215 = €521,48
Koers
P = €1 217,51
Antwoord
P = €1 217,51
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,504 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, N = 22
Los numeriek op
i = 1,252% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,252% = 2,504%
Antwoord
YTM = 2,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,379 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (172 − 170)/5 = 0,4
Antwoord
z = 0,4
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,178
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,75
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,45
Variantie
Var(X) = 4,45 − 1,75² = 1,388
σ = √1,388 = 1,178
Antwoord
σ = 1,178
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,5 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 4 (p = 0,2), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 4·0,2 + 9·0,05 − 1·0,75 = 0,5 €
Antwoord
E(G) = 0,5 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,1587
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (111,4 − 105)/6,403 = 1
Rechterstaart
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 110,1 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Terug naar x
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 punten
Antwoord
x = 110,12 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 4,036 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 138,5 − 141,5 = −3
Standaardfout
SE = √(18²/50 + 7²/50) = 2,731
Foutmarge
E = 2,576·2,731 = 7,036
Interval
−3 ± 7,036 → [−10,04, 4,036]
Antwoord
bovengrens = 4,036 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 157
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·19/2,5)² = 156,3
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 157
Antwoord
n = 157
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,799
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857
Toetsingsgrootheid
t = (44,86 − 50)/2,857 = −1,799
Antwoord
t = −1,799
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 14,57 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 100 + 1,645·3 = 104,9
z onder het ware gemiddelde
z = (104,9 − 108,1)/3 = −1,055
Fout van de tweede soort
onderscheidend vermogen = P(Z > −1,055) = 85,43%
β = 100% − 85,43% = 14,57%
Antwoord
β = 14,57%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,8723
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 133/6 = 22,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 48,83
Correlatiecoëfficiënt
r = −25,5/√(17,5·48,83) = −0,8723
Antwoord
r = −0,8723
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −4,386
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 69/6 = 11,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107
Regressielijn
b = 107/70 = 1,529
a = 11,5 − 1,529·7 = 0,8
ŷ = 0,8 + 1,529·x
Voorspelde waarde
ŷ = 0,8 + 1,529·3 = 5,386
Residu
e = 1 − 5,386 = −4,386
Antwoord
e = −4,386
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.