Een creditcard rekent een nominale rente van 21 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 21%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €25 0003% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €250 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €10 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €250 000CF1 = €10 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €5 000, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 000CF3 = 7 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 8 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 3%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 2% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 8y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 18 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 217. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 217aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €25,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 9%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 59, 47, 33, 55, 21, 44, 60.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 92?
μ = 100σ = 8x = 92
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 8
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?
n = 11p = 0,5k = 4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 422 en 510 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 510
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 50 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 2. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?
99%n₁ = 50E₁ = 295%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
9 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 12,02 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
In een onderzoek herstellen 140 van de 200 patiënten met behandeling A en 70 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 70n₂ = 120
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 202Σx² = 55Σy² = 8370Σxy = 650
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4,5, 33) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 33)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 22,1 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,21/2 = 0,105
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,105)2 − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%
Antwoord
EAR = 22,1%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 727 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,914
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,914) = €727,03
Antwoord
A = €727,03
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −50000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 10 000/(0,08 − 0,03) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Antwoord
NPV = −€50 000,00
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 34,04 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 603,10
NPV(35%) = −134,13
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 30 + 5·603,10/(603,10 − (−134,13)) = 34,09%
exact: NPV(34,04%) = 0 → IRR = 34,04%
Antwoord
IRR = 34,04%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 5,683 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1217 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 4%: €1 272,91
y = 5%: €1 211,97
YTC = 4,915%
Antwoord
YTC = 4,915%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,996%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,855 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 7,855%
Antwoord
WACC = 7,855%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 13,31 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7674
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Antwoord
P = 0,7674
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1611
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punten
Antwoord
x = 73,42 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 1,522
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609
Nieuwe marge
E₂ = 2·0,7609 = 1,522
Antwoord
E₂ = 1,522
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 16735
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·33/0,5)² = 16734
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 16735
Antwoord
n = 16735
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 10,3/√9 = 3,433
Toetsingsgrootheid
t = 12,02/3,433 = 3,501
Antwoord
t = 3,501
Bij df = 8 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,306; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,127
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 140/200 = 0,7
p̂₂ = 70/120 = 0,5833
p̂ = 210/320 = 0,6563
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,6563·0,3438·(1/200 + 1/120)) = 0,05484
Toetsingsgrootheid
z = (0,7 − 0,5833)/0,05484 = 2,127
Antwoord
z = 2,127
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,962
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 650 − 15·202/5 = 44
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 8370 − 202²/5 = 209,2
Correlatiecoëfficiënt
r = 44/√(10·209,2) = 0,962
Antwoord
r = 0,962
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −4,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.