Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €2 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €12 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €12 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000, gaat 7 jaar mee en kost €2 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €80 000M = €2 000n = 7r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 000, €10 000, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 10 000CF3 = 15 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 2,5%n = 7
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 100. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €1 100
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,5. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
D/E = 0,5re = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 18, 22, 45, 55.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 60. Bereken de z-score z van een score van 620.
μ = 500σ = 60x = 620
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = −2X + 20. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan kleiner is dan 316,6 g. Rond z af op twee decimalen.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 316.6 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 80%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 90,5 en standaardafwijking s = 15,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 10x̄ = 90,5s = 15,599%t(9) = 3,25
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 36. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 30. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 502,52. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ ≠ 500. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 13?
n = 6ŷ = 13
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2227 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,787
A = 12 000·0,004/(1 − 0,787) = €225,36
Antwoord
A = €225,36
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 15826 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−7)/0,05 = 5,786
Aanschafprijs omgerekend per jaar
80 000/5,786 = 13 825,59
EAC
EAC = 13 825,59 + 2 000 = €15 825,59
Antwoord
EAC = €15 825,59
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 25,75 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 280,00
NPV(30%) = −1 486,12
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,0125, N = 14
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €255,41
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8404 = €840,37
Koers
P = €1 095,78
Antwoord
P = €1 095,78
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 1,485 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 100 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72
YTM = 1,485%
Antwoord
YTM = 1,485%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·5%·(1 − 0,3) = 6,5%
Antwoord
WACC = 6,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,917 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (620 − 500)/60 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,6475
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variantie
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Antwoord
Var(X) = 0,6475
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 5,122
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Standaardiseren
z = (316,6 − 320)/3,394 = −1
Kansrekening
P = Φ(−1) = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 112,6 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 punten
Antwoord
x = 112,62 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 106,4
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Foutmarge
E = 3,25·15,5/√10 = 15,93
Interval
90,5 ± 15,93 → [74,57, 106,4]
Antwoord
bovengrens = 106,4
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 956
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·36/3)² = 955,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 956
Antwoord
n = 956
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,4009
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 30/√100 = 3
z = (502,52 − 500)/3 = 0,84
Staartoppervlakte
Φ(0,84) = 0,7995
1 − Φ(0,84) = 0,2005
p-waarde
p = 2·0,2005 = 0,4009
Antwoord
p = 0,4009
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 223
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 0,842)·15/2,5)² = 222,7
Naar boven afronden
n = 223
Antwoord
n = 223
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9701
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 442/6 = 73,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 576
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2171
Determinatiecoëfficiënt
r² = 576²/(157,5·2171) = 0,9701
Antwoord
r² = 0,9701
Ongeveer 97,01% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 5,19
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 96/6 = 16
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Regressielijn
b = 116/70 = 1,657
a = 16 − 1,657·7 = 4,4
ŷ = 4,4 + 1,657·x
Los op naar x
x = (13 − 4,4)/1,657 = 5,19
Antwoord
x = 5,19
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.