Je belegt €1 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 20 jaar.
PV = €1 000r = 2%t = 20
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 11 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5003% / 12N = 132
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €7 000, €10 000, €5 000, €10 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €25 000 levert 9 jaar lang aan het eind van elk jaar €4 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €25 000CF = €4 500n = 9
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 9% naar 8%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 4%n = 8y1 = 9%y2 = 8%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €1 135. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 8P = €1 135
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €32,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €19 500 000. Ze heeft net een dividend van €2,90 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €19 500 000 en kosten vóór belasting van 5%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 34, 13, 21, 13.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Bereken de z-score z van een score van 452.
μ = 500σ = 40x = 452
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 7p = 0,7k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9474 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9474
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 123 h, bekende standaardafwijking 13 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 110 h, bekende standaardafwijking 11 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 28. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 54,5, standaardafwijking 2,5. Groep 2: 13 studenten, gemiddelde score 58,3, standaardafwijking 9,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 200,6. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 200,6σ = 8n = 4995%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 30Σy = 60Σx² = 220Σy² = 794Σxy = 414
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 25) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 25)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1492 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·20 = 0,4
e0,4 = 1,492
Eindwaarde
FV = 1 000·1,492 = €1 491,82
Antwoord
FV = €1 491,82
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 78079 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 7 000/1,06 = 6 603,77
CF2/(1 + 0,06)2 = 10 000/1,124 = 8 899,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 5 000/1,191 = 4 198,10
CF4/(1 + 0,06)4 = 10 000/1,262 = 7 920,94
Optellen
NPV = €7 622,77
Antwoord
NPV = €7 622,77
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 10,91 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−9)/i = 25 000/4 500 = 5,556
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 10%: 5,759
i = 11%: 5,537
IRR = 10,91%
Antwoord
IRR = 10,91%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 46,88 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 135 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(3%) = €1 210,59, P(4%) = €1 134,65
YTM = 3,995%
Antwoord
YTM = 3,995%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,027 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·9% + 0,1667·4%·(1 − 0,21) = 8,027%
Antwoord
WACC = 8,027%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,025 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (452 − 500)/40 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 0,8047
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Variantie
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Antwoord
σ = 0,8047
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,09724
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,9474 = 0,0526
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,0526 in de tabel en lees z af.
z = −1,62
Antwoord
z = −1,62
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 22,13 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Antwoord
x = 22,13 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 8,744 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 123 − 110 = 13
Standaardfout
SE = √(13²/100 + 11²/40) = 2,171
Foutmarge
E = 1,96·2,171 = 4,256
Interval
13 ± 4,256 → [8,744, 17,26]
Antwoord
ondergrens = 8,744 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 5203
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·28/1)² = 5202
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 5203
Antwoord
n = 5203
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,098
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (7·2,5² + 12·9,5²)/19 = 59,3
sp = 7,701
Standaardfout
SE = 7,701·√(1/8 + 1/13) = 3,46
Toetsingsgrootheid
t = (54,5 − 58,3)/3,46 = −1,098
Antwoord
t = −1,098
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 198,4
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·8/√49 = 2,24
Intervalgrens
L = 200,6 − 2,24 = 198,4
Antwoord
L = 198,4
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9925
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 414 − 30·60/5 = 54
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 794 − 60²/5 = 74
Correlatiecoëfficiënt
r = 54/√(40·74) = 0,9925
Antwoord
r = 0,9925
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 4,833
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Regressielijn
b = −33,5/17,5 = −1,914
a = 20,17 − (−1,914)·3,5 = 26,87
ŷ = 26,87 − 1,914·x
Voorspelde waarde
ŷ = 26,87 + (−1,914)·3,5 = 20,17
Residu
e = 25 − 20,17 = 4,833
Antwoord
e = 4,833
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.