Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 2 jaar.
PV = €3 0003% / 12n = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3003,6% / 12N = 204
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €11 000, €16 500, €21 500, €18 000 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €15 000, €12 000, €12 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 12 000CF3 = 12 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 9 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 1,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 9y0 = 2,5%y1 = 1,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €895. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €895
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 6,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 11, 22, 15, 43.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 179?
μ = 170σ = 15x = 179
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 5
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 9p = 0,4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,8715 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,8715
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 54 en standaardafwijking s = 13. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 21x̄ = 54s = 1395%t(20) = 2,086
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 37. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 12 studenten, gemiddelde score 26, standaardafwijking 2. Groep 2: 19 studenten, gemiddelde score 33,4, standaardafwijking 11. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 196,6. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 196,6σ = 15n = 10099%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3185 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 11 000/1,05 = 10 476,19 → Σ = 10 476,19
jaar 2: 16 500/1,103 = 14 965,99 → Σ = 25 442,18
jaar 3: 21 500/1,158 = 18 572,51 → Σ = 44 014,69
jaar 4: 18 000/1,216 = 14 808,64 → Σ = 58 823,33
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 5 985,31/14 808,64 = 3,404
Antwoord
DPB = 3,404 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,056 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 28,01 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 1 080,00
NPV(30%) = −671,37
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Los numeriek op
P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99
YTM = 6,529%
Antwoord
YTM = 6,529%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,846 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€46,00 = €46 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,5·5% = 9%
Gewichten
V = €56 000 000, E/V = 0,8214, D/V = 0,1786
WACC
WACC = 0,8214·9% + 0,1786·3%·(1 − 0,258) = 7,79%
Antwoord
WACC = 7,79%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,36
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwoord
P = 0,2743
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5981
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Antwoord
P = 0,5981
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,07054
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,69 = 0,01008
P(X = 1) = 9·0,4·0,68 = 0,06047
Tel ze op
P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054
Antwoord
P = 0,07054
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,52
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,8715)/2 = 0,9357
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9357 in de tabel en lees z af.
z = 1,52
Antwoord
z = 1,52
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaardiseren
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Antwoord
P = 0,7389
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,918
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Foutmarge
E = 2,086·13/√21 = 5,918
Antwoord
E = 5,918
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 14819
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·37/0,5)² = 14818
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 14819
Antwoord
n = 14819
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,293
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (11·2² + 18·11²)/29 = 76,62
sp = 8,753
Standaardfout
SE = 8,753·√(1/12 + 1/19) = 3,228
Toetsingsgrootheid
t = (26 − 33,4)/3,228 = −2,293
Antwoord
t = −2,293
Bij df = 29 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,045; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 192,7
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·15/√100 = 3,864
Intervalgrens
L = 196,6 − 3,864 = 192,7
Antwoord
L = 192,7
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9846
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 519/6 = 86,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 421
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2572
Determinatiecoëfficiënt
r² = 421²/(70·2572) = 0,9846
Antwoord
r² = 0,9846
Ongeveer 98,46% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 27,05
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 118/5 = 23,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Regressielijn
b = −23/10 = −2,3
a = 23,6 − (−2,3)·3 = 30,5
ŷ = 30,5 − 2,3·x
Voorspelling
ŷ = 30,5 + (−2,3)·1,5 = 27,05
Antwoord
ŷ = 27,05
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.