Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €8 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €8 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €250 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €250 0003% / 12N = 300
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €8 500, €6 000, €5 500, €8 500, €8 000, €6 000 op. De vermogenskosten zijn 8 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 000, €7 000, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 7 000CF3 = 7 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 15 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €903 als het effectieve rendement 6% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 15P = €903YTM = 6%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €935. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,8 heeft een vereist rendement van 8,4%. De risicovrije rente is 4%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,8re = 8,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €54,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 8,5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 50, 31, 41, 29, 57, 58.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 115.
μ = 100σ = 15x = 115
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 5. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,2586 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,2586
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 60% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten60%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 7 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −2,9 en standaardafwijking 3,7. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 7d̄ = −2,9sd = 3,795%t(6) = 2,447
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 131 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 16 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 128,7 mm, bekende standaardafwijking 3 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 46,5. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 46,5σ = 8n = 3699%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 88?
n = 5ŷ = 88
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 400000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·25 = 300
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,4728
A = 250 000·0,0025/(1 − 0,4728) = €1 185,53
Antwoord
A = €1 185,53
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,419 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 8 500/1,08 = 7 870,37 → Σ = 7 870,37
jaar 2: 6 000/1,166 = 5 144,03 → Σ = 13 014,40
jaar 3: 5 500/1,26 = 4 366,08 → Σ = 17 380,48
jaar 4: 8 500/1,36 = 6 247,75 → Σ = 23 628,23
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 2 619,52/6 247,75 = 3,419
Antwoord
DPB = 3,419 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,31 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 1 419,98
NPV(15%) = −210,41
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,06)−15 = €417,27
Coupon
C = (903 − 417,27)/9,712 = €50,01
Couponrente
c = 50,01/1000 = 5,001%
Antwoord
c = 5,001%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,595 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(9%) = €949,37, P(10%) = €925,39
YTM = 9,595%
Antwoord
YTM = 9,595%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (8,4% − 4%)/0,8 = 5,5%
Marktrendement
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Antwoord
rm = 9,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,743 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€54,50 = €54 500 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 0,8·6,5% = 7,2%
Gewichten
V = €64 300 000, E/V = 0,8476, D/V = 0,1524
WACC
WACC = 0,8476·7,2% + 0,1524·6%·(1 − 0,3) = 6,743%
Antwoord
WACC = 6,743%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,55
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (115 − 100)/15 = 1
Antwoord
z = 1
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,228
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,85
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,35
Variantie
Var(X) = 9,35 − 2,85² = 1,228
Antwoord
Var(X) = 1,228
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 3,015
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,2586)/2 = 0,6293
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,6293 in de tabel en lees z af.
z = 0,33
Antwoord
z = 0,33
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 67,5 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,6
z uit de tabel
z ≈ 0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 + 0,25·10 = 67,5 punten
Antwoord
x = 67,5 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 0,5221 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 6, t = 2,447
Foutmarge
E = 2,447·3,7/√7 = 3,422
Interval
−2,9 ± 3,422 → [−6,322, 0,5221]
Antwoord
bovengrens = 0,5221 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 183
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·21/4)² = 182,9
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 183
Antwoord
n = 183
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 1,099
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(16²/60 + 3²/80) = √4,379 = 2,093
Toetsingsgrootheid
z = (131 − 128,7)/2,093 = 1,099
Antwoord
z = 1,099
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 43,07
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·8/√36 = 3,435
Intervalgrens
L = 46,5 − 3,435 = 43,07
Antwoord
L = 43,07
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,64
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 40
Determinatiecoëfficiënt
r² = −16²/(10·40) = 0,64
Antwoord
r² = 0,64
Ongeveer 64% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 26,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 368/5 = 73,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Regressielijn
b = 279/90 = 3,1
a = 73,6 − 3,1·22 = 5,4
ŷ = 5,4 + 3,1·x
Los op naar x
x = (88 − 5,4)/3,1 = 26,65
Antwoord
x = 26,65
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.