Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 10 jaar.
PV = €12 0003% / 12n = 10
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0003,6% / 12N = 300
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 6 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €25 500, €22 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 22 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 2,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 8y1 = 3,5%y2 = 2,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 4%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 3%n = 6YTM = 4%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €5 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €49,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 7%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 46, 50, 55, 44, 27, 24, 52.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 40?
μ = 50σ = 20x = 40
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 10. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 174,85 en 186,75 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 186,75
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 90% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten90%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 4,5. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval gebaseerd op 50 waarnemingen?
95%n₁ = 25E₁ = 4,590%n₂ = 50
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 202,5 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 6. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 24?
n = 5ŷ = 24
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 16192 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·25 = 300
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,4071
A = 150 000·0,003/(1 − 0,4071) = €759,00
Antwoord
A = €759,00
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 12297 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/4,111 = 7 296,77
EAC
EAC = 7 296,77 + 5 000 = €12 296,77
Antwoord
EAC = €12 296,77
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 12,6 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 1 363,64
NPV(15%) = −1 190,93
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 30/1,04 = 28,85, t·PV = 28,85
t = 2: 30/1,082 = 27,74, t·PV = 55,47
t = 3: 30/1,125 = 26,67, t·PV = 80,01
t = 4: 30/1,17 = 25,64, t·PV = 102,58
t = 5: 30/1,217 = 24,66, t·PV = 123,29
t = 6: 1030/1,265 = 814,02, t·PV = 4 884,14
Duration
P = 947,58
D = 5 274,34/947,58 = 5,566
Antwoord
D = 5,566 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,194 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 000 000·€49,50 = €99 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,5·5% = 9,5%
Gewichten
V = €141 000 000, E/V = 0,7021, D/V = 0,2979
WACC
WACC = 0,7021·9,5% + 0,2979·3%·(1 − 0,25) = 7,34%
Antwoord
WACC = 7,34%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,25
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 82,75
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,25) − Φ(−0,45) = 0,8944 − 0,3264 = 0,568
Antwoord
P = 0,568
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 52,2 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,1
z uit de tabel
z ≈ −1,28
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 punten
Antwoord
x = 52,2 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 2,671
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/50) = 0,5935
Nieuwe marge
E₂ = 4,5·0,5935 = 2,671
Antwoord
E₂ = 2,671
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 189
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·21/3)² = 188,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 189
Antwoord
n = 189
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,083
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Toetsingsgrootheid
t = (202,5 − 200)/1,2 = 2,083
Antwoord
t = 2,083
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 362
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·6/1)² = 361,3
Naar boven afronden
n = 362
Antwoord
n = 362
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9024
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 160/5 = 32
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 118
Correlatiecoëfficiënt
r = 31/√(10·118) = 0,9024
Antwoord
r = 0,9024
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,583
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Regressielijn
b = −24/10 = −2,4
a = 20,6 − (−2,4)·3 = 27,8
ŷ = 27,8 − 2,4·x
Los op naar x
x = (24 − 27,8)/(−2,4) = 1,583
Antwoord
x = 1,583
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.