Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €12 0005% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 5? Bereken de restschuld B.
P = €300 0003,6% / 12N = 300k = 60
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €32 000, €26 000, €34 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €20 000 levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €3 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €20 000CF = €3 500n = 7
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 100 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 11,9 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten stijgt.
P0 = €1 100y = 3%D = 11,9Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €17,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 13, 15, 21, 55.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 54.
μ = 60σ = 5x = 54
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,05, 0,25, 0,25
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €25 met kans 0,3 en €100 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€25: p = 0,3€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,7620 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,7620
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 0,6 en standaardafwijking 4,4. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 20d̄ = 0,6sd = 4,499%t(19) = 2,861
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 19. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 71,28 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 20E = 1,590%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 69?
n = 5ŷ = 69
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 13929 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 300 − 60 = 240
B = 1518·(1 − (1 + 0,003)−240)/0,003 = €259 439,14
Antwoord
B = €259 439,14
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 3911 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 32 000/1,08 = 29 629,63
CF2/(1 + 0,08)2 = 26 000/1,166 = 22 290,81
CF3/(1 + 0,08)3 = 34 000/1,26 = 26 990,30
Optellen
NPV = €3 910,74
Antwoord
NPV = €3 910,74
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 5,347 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−7)/i = 20 000/3 500 = 5,714
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 5%: 5,786
i = 6%: 5,582
IRR = 5,347%
Antwoord
IRR = 5,347%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1115 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,0175, N = 18
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €383,17
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7318 = €731,78
Koers
P = €1 114,95
Antwoord
P = €1 114,95
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 972,9 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 11,9/1,03 = 11,55
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −11,55·(0,01) = −11,55%
P ≈ 1100·(1 − 0,1155) = €972,91
Antwoord
P = €972,91
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,895 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (54 − 60)/5 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,96
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 20 (p = 0,3), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)
Verwachtingswaarde
E(G) = 20·0,3 + 95·0,05 − 5·0,65 = 7,5 €
Antwoord
E(G) = 7,5 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,18
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8810 in de tabel en lees z af.
z = 1,18
Antwoord
z = 1,18
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 593,1 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Terug naar x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Antwoord
x = 593,05 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −2,215 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 19, t = 2,861
Foutmarge
E = 2,861·4,4/√20 = 2,815
Interval
0,6 ± 2,815 → [−2,215, 3,415]
Antwoord
ondergrens = −2,215 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 62
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·19/4)² = 61,05
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 62
Antwoord
n = 62
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Toetsingsgrootheid
t = (71,28 − 75)/1,2 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 482
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·20/1,5)² = 481,1
Naar boven afronden
n = 482
Antwoord
n = 482
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9804
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Syy = Σ(y − ȳ)² = 231,3
Determinatiecoëfficiënt
r² = 126²/(70·231,3) = 0,9804
Antwoord
r² = 0,9804
Ongeveer 98,04% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,122
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 281/5 = 56,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Regressielijn
b = 164/40 = 4,1
a = 56,2 − 4,1·5 = 35,7
ŷ = 35,7 + 4,1·x
Los op naar x
x = (69 − 35,7)/4,1 = 8,122
Antwoord
x = 8,122
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.