Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €2 0006% / 12n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €8 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €8 0003,6% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €26 000, €13 000, €28 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €7 500, €4 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 2%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 5y1 = 3,5%y2 = 2%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €1 060. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 8P = €1 060
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €12 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 11%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%, resterende looptijd 7 jaar) die elk op €1 062 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 62,5 en 75,5 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 65σ = 10x1 = 62,5x2 = 75,5
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 85,5 en standaardafwijking s = 7,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 85,5s = 7,590%t(6) = 1,943
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 35. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 18. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 92,5. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ ≠ 100. Bereken de p-waarde p.
Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 51,5. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 51,5σ = 8n = 6490%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1666Σxy = 231
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 10.
n = 6x = 10
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3228 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8978
A = 8 000·0,003/(1 − 0,8978) = €234,77
Antwoord
A = €234,77
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −3584 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 26 000/1,09 = 23 853,21
CF2/(1 + 0,09)2 = 13 000/1,188 = 10 941,84
CF3/(1 + 0,09)3 = 28 000/1,295 = 21 621,14
Optellen
NPV = €−3 583,81
Antwoord
NPV = €−3 583,81
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 11,03 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 123,97
NPV(15%) = −453,69
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 10 + 5·123,97/(123,97 − (−453,69)) = 11,07%
exact: NPV(11,03%) = 0 → IRR = 11,03%
Antwoord
IRR = 11,03%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 72,69 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,995%
Antwoord
YTM = 6,995%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,04 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (620 − 500)/60 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,479
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25
z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,05) − Φ(−0,25) = 0,8531 − 0,4013 = 0,4518
Antwoord
P = 0,4518
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 79,99
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Foutmarge
E = 1,943·7,5/√7 = 5,508
Interval
85,5 ± 5,508 → [79,99, 91,01]
Antwoord
ondergrens = 79,99
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 904
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·35/3)² = 903,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 904
Antwoord
n = 904
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,01242
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (92,5 − 100)/3 = −2,5
Staartoppervlakte
Φ(2,5) = 0,9938
1 − Φ(2,5) = 0,0062
p-waarde
p = 2·0,0062 = 0,01242
Antwoord
p = 0,01242
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 53,15
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·8/√64 = 1,645
Intervalgrens
U = 51,5 + 1,645 = 53,15
Antwoord
U = 53,15
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9639
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 231 − 15·88/5 = −33
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1666 − 88²/5 = 117,2
Correlatiecoëfficiënt
r = −33/√(10·117,2) = −0,9639
Antwoord
r = −0,9639
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 106,5
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 566/6 = 94,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426
Regressielijn
b = 426/70 = 6,086
a = 94,33 − 6,086·8 = 45,65
ŷ = 45,65 + 6,086·x
Voorspelling
ŷ = 45,65 + 6,086·10 = 106,5
Antwoord
ŷ = 106,5
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.