Een creditcard rekent een nominale rente van 22 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2507,2% / 12N = 204
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €400 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €38 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 1 % per jaar. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €400 000CF1 = €38 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €31 000, €30 500, €22 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 31 000CF2 = 30 500CF3 = 22 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 13 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 2,5% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 13y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €910. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 6P = €910
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €23,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 12, 19, 12, 37.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 85?
μ = 100σ = 10x = 85
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 6 rode en 6 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
6 / 6
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 9p = 0,6k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9651 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9651
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −6,8 en standaardafwijking 1,6. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 20d̄ = −6,8sd = 1,695%t(19) = 2,093
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 25 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 24 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 12,401 en 2,5% boven 39,364.
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 96 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 6 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 97,5 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
In een onderzoek herstellen 135 van de 300 patiënten met behandeling A en 138 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 138n₂ = 250
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 23,21 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,22/2 = 0,11
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Antwoord
EAR = 23,21%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 99515 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 38 000/(0,09 − 0,01) = 475 000,00
NPV
NPV = 475 000,00 − 400 000 = €75 000,00
Antwoord
NPV = €75 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 33,18 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 2 134,73
NPV(35%) = −1 156,84
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€910 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,007%
Antwoord
YTM = 9,007%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,613 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 6,613%
Antwoord
WACC = 6,613%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,629 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€23,00 = €57 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,1·7% = 9,2%
Gewichten
V = €77 900 000, E/V = 0,7381, D/V = 0,2619
WACC
WACC = 0,7381·9,2% + 0,2619·4%·(1 − 0,2) = 7,629%
Antwoord
WACC = 7,629%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 10,57
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2273
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273
Antwoord
P = 0,2273
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,003539
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,9651)/2 = 0,9826
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9826 in de tabel en lees z af.
z = 2,11
Antwoord
z = 2,11
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,983
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
Kansrekening
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
Antwoord
P = 0,983
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −7,549 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 19, t = 2,093
Foutmarge
E = 2,093·1,6/√20 = 0,7488
Interval
−6,8 ± 0,7488 → [−7,549, −6,051]
Antwoord
ondergrens = −7,549 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 16,14 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 24·11,6² = 3229
Grenzen voor σ²
3229/39,364 = 82,04
3229/12,401 = 260,4
Grens voor σ
σ = √260,4 = 16,14 µm
Antwoord
σ = 16,14 µm
95%-interval voor σ: [9,058, 16,14] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,033
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(6²/40 + 11²/100) = √2,11 = 1,453
Toetsingsgrootheid
z = (96 − 97,5)/1,453 = −1,033
Antwoord
z = −1,033
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,382
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 138/250 = 0,552
p̂ = 273/550 = 0,4964
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,4964·0,5036·(1/300 + 1/250)) = 0,04282
Toetsingsgrootheid
z = (0,45 − 0,552)/0,04282 = −2,382
Antwoord
z = −2,382
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9657
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 60/5 = 12
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Syy = Σ(y − ȳ)² = 70
Determinatiecoëfficiënt
r² = 52²/(40·70) = 0,9657
Antwoord
r² = 0,9657
Ongeveer 96,57% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 98,6
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 385/5 = 77
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Regressielijn
b = 288/40 = 7,2
a = 77 − 7,2·5 = 41
ŷ = 41 + 7,2·x
Voorspelling
ŷ = 41 + 7,2·8 = 98,6
Antwoord
ŷ = 98,6
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.