Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €5 0005% / 12n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 8 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2504,2% / 12N = 96
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €15 000, €21 000, €16 000, €30 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €12 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 4. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF1 = €12 500g = 4%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 4 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%) als het effectieve rendement 3% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 4y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €860. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €860
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,8. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1,5 aan te houden. Het belastingtarief is 25%, de risicovrije rente 1,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 0,8D/E = 1,5T = 25%rf = 1,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 25, 49, 25, 33.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 50. Welk deel P van de waarden ligt boven 450?
μ = 500σ = 50x = 450
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 12p = 0,6k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 242 en 256 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 242x2 = 256
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 92 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 101,5 h, bekende standaardafwijking 8 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 93,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 18 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 96,2 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 10. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17,5.
n = 6x = 17,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 7834 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 15 000/1,08 = 13 888,89
CF2/(1 + 0,08)2 = 21 000/1,166 = 18 004,12
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
CF4/(1 + 0,08)4 = 30 000/1,36 = 22 050,90
Optellen
NPV = €−8 354,78
Antwoord
NPV = €−8 354,78
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −6213 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 4,359 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€860 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(5%) = €884,27, P(6%) = €832,53
YTM = 5,46%
Antwoord
YTM = 5,46%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,883 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·10% + 0,25·7%·(1 − 0,21) = 8,883%
Antwoord
WACC = 8,883%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11,7 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 0,8·(1 + 0,75·1,5) = 1,7
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,7·6% = 11,7%
Antwoord
re = 11,7%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,21
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,8875
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,75
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,95
Variantie
Var(X) = 3,95 − 1,75² = 0,8875
Antwoord
Var(X) = 0,8875
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,01246
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6
z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301
Antwoord
P = 0,8301
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 172,1 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm
Antwoord
x = 172,11 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,525 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 92 − 101,5 = −9,5
Standaardfout
SE = √(20²/40 + 8²/50) = 3,359
Foutmarge
E = 1,645·3,359 = 5,525
Antwoord
E = 5,525 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 98
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·24/4)² = 97,42
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 98
Antwoord
n = 98
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −0,8849
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(18²/40 + 11²/100) = √9,31 = 3,051
Toetsingsgrootheid
z = (93,5 − 96,2)/3,051 = −0,8849
Antwoord
z = −0,8849
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 701
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,645)·10/1,5)² = 700,8
Naar boven afronden
n = 701
Antwoord
n = 701
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9984
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 153/6 = 25,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229
Syy = Σ(y − ȳ)² = 751,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 229/√(70·751,5) = 0,9984
Antwoord
r = 0,9984
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 73,46
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 605/6 = 100,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 718,5
Regressielijn
b = 718,5/157,5 = 4,562
a = 100,8 − 4,562·23,5 = −6,371
ŷ = −6,371 + 4,562·x
Voorspelling
ŷ = −6,371 + 4,562·17,5 = 73,46
Antwoord
ŷ = 73,46
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.