Een creditcard rekent een nominale rente van 15 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 15%m = 4
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €12 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €12 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 9 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €37 500, €34 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 37 500CF2 = 34 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 9%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 12 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 116. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 116aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 8,48%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1,5 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 1,5T = 28%rf = 3,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 42, 15, 13, 60, 53.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 52,5?
μ = 60σ = 5x = 52,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 8p = 0,1k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 199,8 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 57,5 en standaardafwijking s = 18. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 16x̄ = 57,5s = 1890%t(15) = 1,753
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,9 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 68,11 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 12E = 190%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 23.
n = 5x = 23
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 15,87 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,15/4 = 0,0375
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0375)4 − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%
Antwoord
EAR = 15,87%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 272 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 12 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €272,02
Antwoord
A = €272,02
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 12507 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/5,328 = 7 507,16
EAC
EAC = 7 507,16 + 5 000 = €12 507,16
Antwoord
EAC = €12 507,16
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 28,64 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 2 080,00
NPV(30%) = −739,64
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,045, N = 6
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €51,58
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7679 = €767,90
Koers
P = €819,47
Antwoord
P = €819,47
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 7,665 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1116 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 7%: €1 146,17
y = 8%: €1 101,18
YTC = 7,665%
Antwoord
YTC = 7,665%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 7,5%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 10 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,2·3%·(1 − 0,2) = 0,48%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,48% − 0,48%)/0,8 = 10%
Antwoord
re = 10%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 18,48 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,72·1,5) = 2,496
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 2,496·6% = 18,48%
Antwoord
re = 18,48%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 21,62
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 4,36
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8554
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Antwoord
P = 0,8554
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 7,888
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Foutmarge
E = 1,753·18/√16 = 7,888
Antwoord
E = 7,888
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 8,712 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 14·11,9² = 1983
Grenzen voor σ²
1983/26,119 = 75,9
1983/5,629 = 352,2
Grens voor σ
σ = √75,9 = 8,712 µm
Antwoord
σ = 8,712 µm
95%-interval voor σ: [8,712, 18,77] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,101
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Toetsingsgrootheid
t = (68,11 − 75)/2,222 = −3,101
Antwoord
t = −3,101
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 390
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·12/1)² = 389,7
Naar boven afronden
n = 390
Antwoord
n = 390
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,97
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 296/6 = 49,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Syy = Σ(y − ȳ)² = 197,3
Correlatiecoëfficiënt
r = 114/√(70·197,3) = 0,97
Antwoord
r = 0,97
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 132,9
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 635/5 = 127
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Regressielijn
b = 236/40 = 5,9
a = 127 − 5,9·22 = −2,8
ŷ = −2,8 + 5,9·x
Voorspelling
ŷ = −2,8 + 5,9·23 = 132,9
Antwoord
ŷ = 132,9
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.