Je hebt over 6 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0006% / 12n = 6
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €15 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €15 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €14 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €14 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €28 000, €20 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 20 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 10 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 3% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 10y0 = 2,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 17 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 105. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 105aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 9,54%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €35,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 7%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 57, 43, 24, 52, 29.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 120?
μ = 100σ = 10x = 120
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,2 en €500 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€40: p = 0,2€500: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9606 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9606
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 25% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 50 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 5,6. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 450 waarnemingen gebruikt?
99%n₁ = 50E₁ = 5,6n₂ = 450
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,2 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 74,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 6 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 80,1 mm, bekende standaardafwijking 16 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 203,8. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 203,8σ = 12n = 2595%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 42Σy = 123Σx² = 364Σy² = 2895Σxy = 1022
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 20,5.
n = 6x = 20,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 34915 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,432 = €34 915,12
Antwoord
PV = €34 915,12
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 448,2 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 15 000·0,004/(1 − 0,8661) = €448,22
Antwoord
A = €448,22
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −25000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 14 000/(0,12 − 0,04) = 175 000,00
NPV
NPV = 175 000,00 − 200 000 = −€25 000,00
Antwoord
NPV = −€25 000,00
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,69 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 2 396,69
NPV(15%) = −151,23
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1105 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 5%: €1 141,44
y = 6%: €1 094,43
YTC = 5,77%
Antwoord
YTC = 5,77%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,998%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,1667·3%·(1 − 0,25) = 0,375%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,54% − 0,375%)/0,8333 = 11%
Antwoord
re = 11%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,82 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 5
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14
Variantie
Var(X) = 14 − 3² = 5
Antwoord
Var(X) = 5
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 23 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 30 (p = 0,2), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 30·0,2 + 490·0,05 − 10·0,75 = 23 €
Antwoord
E(G) = 23 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 2,06
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,9606)/2 = 0,9803
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9803 in de tabel en lees z af.
z = 2,06
Antwoord
z = 2,06
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 246,7 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,25
z uit de tabel
z ≈ −0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Antwoord
x = 246,7 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 1,867
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/450) = 0,3333
Nieuwe marge
E₂ = 5,6·0,3333 = 1,867
Antwoord
E₂ = 1,867
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 246
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,2·0,8/0,05² = 245,9
Naar boven afronden
n = 246
Antwoord
n = 246
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −3,011
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(6²/40 + 16²/100) = √3,46 = 1,86
Toetsingsgrootheid
z = (74,5 − 80,1)/1,86 = −3,011
Antwoord
z = −3,011
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 208,5
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·12/√25 = 4,704
Intervalgrens
U = 203,8 + 4,704 = 208,5
Antwoord
U = 208,5
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9957
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1022 − 42·123/6 = 161
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2895 − 123²/6 = 373,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 161/√(70·373,5) = 0,9957
Antwoord
r = 0,9957
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 57,9
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 411/6 = 68,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 556,5
Regressielijn
b = 556,5/157,5 = 3,533
a = 68,5 − 3,533·23,5 = −14,53
ŷ = −14,53 + 3,533·x
Voorspelling
ŷ = −14,53 + 3,533·20,5 = 57,9
Antwoord
ŷ = 57,9
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.