Je belegt €5 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 12 jaar.
PV = €5 000r = 6%t = 12
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €30 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €30 0003,6% / 12N = 72
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €27 000, €26 000, €26 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €4 000, €2 500 op. Project B kost €12 000 en levert €3 500, €5 000, €6 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 4% naar 2%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 5y1 = 4%y2 = 2%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 6%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 6YTM = 6%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €32,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 8,5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 20, 52, 10, 14, 31, 48.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 55.
μ = 70σ = 10x = 55
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,4. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 10p = 0,4k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,7199 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,7199
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 70% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 58 en standaardafwijking s = 20. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 13x̄ = 58s = 2099%t(12) = 3,055
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 3,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 496,9 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 395%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 24?
n = 6ŷ = 24
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 10272 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,06·12 = 0,72
e0,72 = 2,054
Eindwaarde
FV = 5 000·2,054 = €10 272,17
Antwoord
FV = €10 272,17
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 3401 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,003, N = 72
A = 30 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−72) = €463,91
Totale rente
I = N·A − P = 72·463,9 − 30 000 = €3 401,35
Antwoord
I = €3 401,35
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 15099 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 27 000/1,15 = 23 478,26
CF2/(1 + 0,15)2 = 26 000/1,322 = 19 659,74
CF3/(1 + 0,15)3 = 26 000/1,521 = 17 095,42
CF4/(1 + 0,15)4 = 26 000/1,749 = 14 865,58
Optellen
NPV = €15 099,00
Antwoord
NPV = €15 099,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 5,302 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 5 500 = −2 000
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500
IRR van het verschil
NPVΔ(5%) = 25,70
NPVΔ(6%) = −58,13
r* = 5,302%
Antwoord
r* = 5,302%
Controle: bij 5,302% zijn beide NCW’s €971,42.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 104,7 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,06 = 37,74, t·PV = 37,74
t = 2: 40/1,124 = 35,60, t·PV = 71,20
t = 3: 40/1,191 = 33,58, t·PV = 100,75
t = 4: 40/1,262 = 31,68, t·PV = 126,73
t = 5: 40/1,338 = 29,89, t·PV = 149,45
t = 6: 1040/1,419 = 733,16, t·PV = 4 398,95
Duration
P = 901,65
D = 4 884,83/901,65 = 5,418
Antwoord
D = 5,418 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,99 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·12% + 0,1429·7%·(1 − 0,3) = 10,99%
Antwoord
WACC = 10,99%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,536 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€32,50 = €81 250 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,2·6,5% = 9,8%
Gewichten
V = €101 650 000, E/V = 0,7993, D/V = 0,2007
WACC
WACC = 0,7993·9,8% + 0,2007·5%·(1 − 0,3) = 8,536%
Antwoord
WACC = 8,536%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 17,67
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (55 − 70)/10 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,023
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,45
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,2 = 7,05
Variantie
Var(X) = 7,05 − 2,45² = 1,047
σ = √1,047 = 1,023
Antwoord
σ = 1,023
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,04031
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,7199)/2 = 0,8599
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8599 in de tabel en lees z af.
z = 1,08
Antwoord
z = 1,08
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 252,6 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,7
z uit de tabel
z ≈ 0,52
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g
Antwoord
x = 252,6 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 41,05
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Foutmarge
E = 3,055·20/√13 = 16,95
Interval
58 ± 16,95 → [41,05, 74,95]
Antwoord
ondergrens = 41,05
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 5,047 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 14·3,2² = 143,4
Grenzen voor σ²
143,4/26,119 = 5,489
143,4/5,629 = 25,47
Grens voor σ
σ = √25,47 = 5,047 µm
Antwoord
σ = 5,047 µm
95%-interval voor σ: [2,343, 5,047] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (496,9 − 500)/1 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 97
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·15/3)² = 96,04
Naar boven afronden
n = 97
Antwoord
n = 97
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9951
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 100/6 = 16,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 369,3
Correlatiecoëfficiënt
r = 160/√(70·369,3) = 0,9951
Antwoord
r = 0,9951
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,629
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 127/6 = 21,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5
Regressielijn
b = −26,5/17,5 = −1,514
a = 21,17 − (−1,514)·3,5 = 26,47
ŷ = 26,47 − 1,514·x
Los op naar x
x = (24 − 26,47)/(−1,514) = 1,629
Antwoord
x = 1,629
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.