Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €3 0006% / 4n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €8 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €8 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €10 000, €20 000, €16 000, €19 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €3 500, €4 500, €4 500, €4 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 12 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 2,5% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 8y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 135. De uitgever kan haar over 4 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 135aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 4 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €49,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 8%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 48, 37, 17, 16, 13.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 60. Bereken de z-score z van een score van 428.
μ = 500σ = 60x = 428
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?
n = 8p = 0,3k = 5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0281 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0281
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 25% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 93,5 en standaardafwijking s = 19. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 10x̄ = 93,5s = 1999%t(9) = 3,25
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,4 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 498,9 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 12E = 2,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 5127 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €185,69
Antwoord
A = €185,69
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 10718 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 10 000/1,06 = 9 433,96
CF2/(1 + 0,06)2 = 20 000/1,124 = 17 799,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 16 000/1,191 = 13 433,91
CF4/(1 + 0,06)4 = 19 000/1,262 = 15 049,78
Optellen
NPV = €10 717,58
Antwoord
NPV = €10 717,58
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 18,32 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
3 500·1,123 = 4 917,25
4 500·1,122 = 5 644,80
4 500·1,121 = 5 040,00
4 000·1,120 = 4 000,00
TV = 19 602,05
MIRR
MIRR = (19 602,05/10 000)1/4 − 1 = 18,32%
Antwoord
MIRR = 18,32%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −125 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1135 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Los numeriek op
y = 5%: €1 172,19
y = 6%: €1 132,67
YTC = 5,94%
Antwoord
YTC = 5,94%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,502%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,011 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (428 − 500)/60 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,79
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,9
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,35 + 16·0,3 = 9,2
Variantie
Var(X) = 9,2 − 2,9² = 0,79
Antwoord
Var(X) = 0,79
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,04668
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0281 = 0,9719
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9719 in de tabel en lees z af.
z = 1,91
Antwoord
z = 1,91
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 246,7 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,25
z uit de tabel
z ≈ −0,67
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Antwoord
x = 246,7 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 73,97
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Foutmarge
E = 3,25·19/√10 = 19,53
Interval
93,5 ± 19,53 → [73,97, 113]
Antwoord
ondergrens = 73,97
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 7,965 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 10·11,4² = 1300
Grenzen voor σ²
1300/20,483 = 63,45
1300/3,247 = 400,2
Grens voor σ
σ = √63,45 = 7,965 µm
Antwoord
σ = 7,965 µm
95%-interval voor σ: [7,965, 20,01] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,76
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Toetsingsgrootheid
t = (498,9 − 500)/0,625 = −1,76
Antwoord
t = −1,76
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 89
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·12/2,5)² = 88,51
Naar boven afronden
n = 89
Antwoord
n = 89
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,962
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 234/6 = 39
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
Syy = Σ(y − ȳ)² = 460
Determinatiecoëfficiënt
r² = 176²/(70·460) = 0,962
Antwoord
r² = 0,962
Ongeveer 96,2% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 72,55
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 379/5 = 75,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Regressielijn
b = 65/10 = 6,5
a = 75,8 − 6,5·4 = 49,8
ŷ = 49,8 + 6,5·x
Voorspelling
ŷ = 49,8 + 6,5·3,5 = 72,55
Antwoord
ŷ = 72,55
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.