Je hebt over 3 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €25 0002% / 12n = 3
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €15 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €15 0003% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000. Ze levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €14 000 op en kan daarna voor €4 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €40 000CF = €14 000S = €4 000n = 3r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €26 500, €29 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 26 500CF2 = 29 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 5,5%n = 12
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €925. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 9P = €925
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
E = €3 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,6 aan te houden. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1D/E = 0,6T = 30%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 11, 39, 10, 56, 58, 42.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 82.
μ = 70σ = 12x = 82
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 5
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 6p = 0,5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 6 ervan groter is dan 245,9 g. Rond z af op twee decimalen.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 245,9 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −7,1 en standaardafwijking 7,8. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 8d̄ = −7,1sd = 7,890%t(7) = 1,895
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.
8 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 5,79 en de standaardafwijking van de verschillen is 6,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
In een onderzoek herstellen 163 van de 250 patiënten met behandeling A en 62 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 62n₂ = 80
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 32) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(9, 32)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 23545 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·3 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,062 = €23 545,29
Antwoord
PV = €23 545,29
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 332 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €332,01
Antwoord
A = €332,01
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −745,3 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
14 000·2,577 = 36 079,36
Contante waarde van de restwaarde
4 000/1,26 = 3 175,33
NPV
NPV = −40 000 + 36 079,36 + 3 175,33 = −€745,31
Antwoord
NPV = −€745,31
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 7,754 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 1 995,46
NPV(10%) = −1 528,93
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,0275, N = 24
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €696,03
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5215 = €521,48
Koers
P = €1 217,51
Antwoord
P = €1 217,51
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,009 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84
YTM = 4,009%
Antwoord
YTM = 4,009%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·9% + 0,6667·3%·(1 − 0,25) = 4,5%
Antwoord
WACC = 4,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12,94 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1·(1 + 0,7·0,6) = 1,42
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,42·7% = 12,94%
Antwoord
re = 12,94%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 21,12
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (82 − 70)/12 = 1
Antwoord
z = 1
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5981
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Antwoord
P = 0,5981
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1094
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,56 = 0,01563
P(X = 1) = 6·0,5·0,55 = 0,09375
Tel ze op
P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094
Antwoord
P = 0,1094
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,02222
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Standaardiseren
z = (245,9 − 240)/2,939 = 2,01
Kansrekening
P = 1 − Φ(2,01) = 0,02222
Antwoord
P = 0,02222
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,226 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 7, t = 1,895
Foutmarge
E = 1,895·7,8/√8 = 5,226
Antwoord
E = 5,226 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 3,144 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 10·4,5² = 202,5
Grenzen voor σ²
202,5/20,483 = 9,886
202,5/3,247 = 62,37
Grens voor σ
σ = √9,886 = 3,144 µm
Antwoord
σ = 3,144 µm
95%-interval voor σ: [3,144, 7,897] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,599
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 6,3/√8 = 2,227
Toetsingsgrootheid
t = 5,79/2,227 = 2,599
Antwoord
t = 2,599
Bij df = 7 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,365; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,056
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 163/250 = 0,652
p̂₂ = 62/80 = 0,775
p̂ = 225/330 = 0,6818
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,6818·0,3182·(1/250 + 1/80)) = 0,05983
Toetsingsgrootheid
z = (0,652 − 0,775)/0,05983 = −2,056
Antwoord
z = −2,056
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9669
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 88/6 = 14,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 185,3
Determinatiecoëfficiënt
r² = −56²/(17,5·185,3) = 0,9669
Antwoord
r² = 0,9669
Ongeveer 96,69% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 2,45
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 102/5 = 20,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Regressielijn
b = 122/40 = 3,05
a = 20,4 − 3,05·6 = 2,1
ŷ = 2,1 + 3,05·x
Voorspelde waarde
ŷ = 2,1 + 3,05·9 = 29,55
Residu
e = 32 − 29,55 = 2,45
Antwoord
e = 2,45
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.