Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €5 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 2 % per jaar. Het vereiste rendement is 8 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €5 000g = 2%r = 8%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 3? Bereken de restschuld B.
P = €300 0006% / 12N = 360k = 36
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €12 000, €16 000, €9 000, €20 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 500, €14 000, €8 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 14 000CF3 = 8 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 9%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Ze wordt verkocht voor €864. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 10P = €864
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 0,9 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 51, 39, 53, 55, 17, 17, 47.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 158?
μ = 170σ = 15x = 158
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 10 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,25. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 10p = 0,25
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 22,4 en 41,3 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 41,3
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De rondetijd X van loper A en de rondetijd Y van loper B zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 52 s en standaardafwijking 4 s, Y heeft gemiddelde 48 s en standaardafwijking 3 s. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 1,9. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval uit dezelfde data?
99%n₁ = 64E₁ = 1,990%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 96,5 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 108,5 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 50 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 44 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 7 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 39,5 mm, bekende standaardafwijking 14 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 20E = 299%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (10, 97) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(10, 97)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 83333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 36 = 324
B = 1799·(1 − (1 + 0,005)−324)/0,005 = €288 252,21
Antwoord
B = €288 252,21
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 3959 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 12 000/1,06 = 11 320,75
CF2/(1 + 0,06)2 = 16 000/1,124 = 14 239,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
CF4/(1 + 0,06)4 = 20 000/1,262 = 15 841,87
Optellen
NPV = €3 959,14
Antwoord
NPV = €3 959,14
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 22,74 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 891,20
NPV(25%) = −688,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 20 + 5·891,20/(891,20 − (−688,00)) = 22,82%
exact: NPV(22,74%) = 0 → IRR = 22,74%
Antwoord
IRR = 22,74%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 943,8 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,045, N = 16
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €449,36
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4945 = €494,47
Koers
P = €943,83
Antwoord
P = €943,83
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,002 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, N = 20
Los numeriek op
i = 4,001% per halfjaar
YTM
YTM = 2·4,001% = 8,002%
Antwoord
YTM = 8,002%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,35 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,2) = 0,7837
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,7837·(1 + 0,742·0,6) = 1,133
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,133·7% = 11,43%
Antwoord
re = 11,43%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,45
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,8
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,7
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Variantie
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Antwoord
Var(X) = 0,7
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,244
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877
Tel ze op
P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244
Antwoord
P = 0,244
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8846
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,55) − Φ(−1,6) = 0,9394 − 0,0548 = 0,8846
Antwoord
P = 0,8846
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7881
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standaardiseren
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 1,213
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Nieuwe marge
E₂ = 1,9·0,6386 = 1,213
Antwoord
E₂ = 1,213
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −23,26 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (9·8,5² + 5·4,5²)/14 = 53,68
sp = 7,327
Foutmarge
E = 2,977·7,327·√(1/10 + 1/6) = 11,26
Interval
−12 ± 11,26 → [−23,26, −0,7368]
Antwoord
ondergrens = −23,26 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,184
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(7²/50 + 14²/60) = √4,247 = 2,061
Toetsingsgrootheid
z = (44 − 39,5)/2,061 = 2,184
Antwoord
z = 2,184
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 664
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·20/2)² = 663,6
Naar boven afronden
n = 664
Antwoord
n = 664
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9731
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 13632 − 153·515/6 = 499,5
Sxx = 4059 − 153²/6 = 157,5
Syy = 45877 − 515²/6 = 1673
Correlatiecoëfficiënt
r = 499,5/√(157,5·1673) = 0,9731
Antwoord
r = 0,9731
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −5,124
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 466/6 = 77,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 428
Regressielijn
b = 428/70 = 6,114
a = 77,67 − 6,114·6 = 40,98
ŷ = 40,98 + 6,114·x
Voorspelde waarde
ŷ = 40,98 + 6,114·10 = 102,1
Residu
e = 97 − 102,1 = −5,124
Antwoord
e = −5,124
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.