Je hebt over 6 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €25 0003,6% / 4n = 6
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €250 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €2507,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000, gaat 6 jaar mee en kost €1 500 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €80 000M = €1 500n = 6r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €13 500, €13 000, €12 500, €12 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 6 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €950. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 6P = €950
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €36,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 10, 49, 41, 10.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 37,5?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €10 met kans 0,15 en €100 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€10: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9586 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9586
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 52,5 en standaardafwijking s = 5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 13x̄ = 52,5s = 595%t(12) = 2,179
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 85 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 21 proefvelden, gemiddelde 91 kg, standaardafwijking 5,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 48,76 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 8E = 399%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 7) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(3, 7)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 20163 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·6 = 24
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,24 = €20 162,85
Antwoord
PV = €20 162,85
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 75 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,006/250 = 0,64
Los op met logaritmen
N = −ln(0,64)/ln(1,006) = 74,6
Rond naar boven af op hele betalingen
74 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 75
Antwoord
N = 75 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 17261 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076
Aanschafprijs omgerekend per jaar
80 000/5,076 = 15 761,40
EAC
EAC = 15 761,40 + 1 500 = €17 261,40
Antwoord
EAC = €17 261,40
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 22,3 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
13 500·1,063 = 16 078,72
13 000·1,062 = 14 606,80
12 500·1,061 = 13 250,00
12 000·1,060 = 12 000,00
TV = 55 935,52
MIRR
MIRR = (55 935,52/25 000)1/4 − 1 = 22,3%
Antwoord
MIRR = 22,3%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 959 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,0275, N = 6
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €109,25
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8498 = €849,78
Koers
P = €959,03
Antwoord
P = €959,03
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 7,051 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,051%
Antwoord
YTM = 7,051%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,867 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·9% + 0,6667·3,5%·(1 − 0,2) = 4,867%
Antwoord
WACC = 4,867%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,51 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€36,00 = €180 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,5·6% = 12,5%
Gewichten
V = €200 000 000, E/V = 0,9, D/V = 0,1
WACC
WACC = 0,9·12,5% + 0,1·3,5%·(1 − 0,25) = 11,51%
Antwoord
WACC = 11,51%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 21,83
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,8275
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,15
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,15
Variantie
Var(X) = 2,15 − 1,15² = 0,8275
Antwoord
Var(X) = 0,8275
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 1,5 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 5 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Verwachtingswaarde
E(G) = 5·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 1,5 €
Antwoord
E(G) = 1,5 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 2,04
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,9586)/2 = 0,9793
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9793 in de tabel en lees z af.
z = 2,04
Antwoord
z = 2,04
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 593,1 h
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Terug naar x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Antwoord
x = 593,05 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 49,48
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Foutmarge
E = 2,179·5/√13 = 3,022
Interval
52,5 ± 3,022 → [49,48, 55,52]
Antwoord
ondergrens = 49,48
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −14,83 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (4·9,5² + 20·5,5²)/24 = 40,25
sp = 6,344
Foutmarge
E = 2,797·6,344·√(1/5 + 1/21) = 8,83
Interval
−6 ± 8,83 → [−14,83, 2,83]
Antwoord
ondergrens = −14,83 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Toetsingsgrootheid
t = (48,76 − 50)/0,4 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 48
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·8/3)² = 47,19
Naar boven afronden
n = 48
Antwoord
n = 48
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9962
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 9663 − 141·387/6 = 568,5
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 27029 − 387²/6 = 2068
Correlatiecoëfficiënt
r = 568,5/√(157,5·2068) = 0,9962
Antwoord
r = 0,9962
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −1,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 71/5 = 14,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Regressielijn
b = 74/40 = 1,85
a = 14,2 − 1,85·6 = 3,1
ŷ = 3,1 + 1,85·x
Voorspelde waarde
ŷ = 3,1 + 1,85·3 = 8,65
Residu
e = 7 − 8,65 = −1,65
Antwoord
e = −1,65
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.