Je hebt over 5 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 2 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €25 0002% / 4n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €250 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 15? Bereken de restschuld B.
P = €250 0004,8% / 12N = 360k = 180
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000, gaat 6 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 6r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €25 000 levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €6 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €25 000CF = €6 500n = 5
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Ze wordt verkocht voor €757. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 9P = €757
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €32,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 8%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 40, 48, 35, 43, 18, 13.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 20.
μ = 50σ = 20x = 20
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 9p = 0,1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 462 en 560 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 560
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 97,5%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 4,7. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval gebaseerd op 72 waarnemingen?
95%n₁ = 36E₁ = 4,799%n₂ = 72
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 23. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 47,8 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 290%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 22627 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·5 = 20
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,105 = €22 626,57
Antwoord
PV = €22 626,57
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 168073 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 180 = 180
B = 1312·(1 − (1 + 0,004)−180)/0,004 = €168 072,67
Antwoord
B = €168 072,67
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 16761 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076
Aanschafprijs omgerekend per jaar
80 000/5,076 = 15 761,40
EAC
EAC = 15 761,40 + 1 000 = €16 761,40
Antwoord
EAC = €16 761,40
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 9,435 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−5)/i = 25 000/6 500 = 3,846
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 9%: 3,89
i = 10%: 3,791
IRR = 9,435%
Antwoord
IRR = 9,435%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1112 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,02, N = 6
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,888)/0,02 = €224,06
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,888 = €887,97
Koers
P = €1 112,03
Antwoord
P = €1 112,03
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,996 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, N = 18
Los numeriek op
i = 4,498% per halfjaar
YTM
YTM = 2·4,498% = 8,996%
Antwoord
YTM = 8,996%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,2 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·12% + 0,5455·4%·(1 − 0,2) = 7,2%
Antwoord
WACC = 7,2%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,644 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 000 000·€32,00 = €64 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 4% + 0,8·4% = 7,2%
Gewichten
V = €84 400 000, E/V = 0,7583, D/V = 0,2417
WACC
WACC = 0,7583·7,2% + 0,2417·7%·(1 − 0,3) = 6,644%
Antwoord
WACC = 6,644%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 14,16
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (20 − 50)/20 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,203
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,55
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,85
Variantie
Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448
σ = √1,448 = 1,203
Antwoord
σ = 1,203
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7748
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Tel ze op
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Antwoord
P = 0,7748
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7621
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,5) − Φ(−0,95) = 0,9332 − 0,1711 = 0,7621
Antwoord
P = 0,7621
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 191,7 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm
Antwoord
x = 191,72 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 4,368
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(36/72) = 0,9293
Nieuwe marge
E₂ = 4,7·0,9293 = 4,368
Antwoord
E₂ = 4,368
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 160
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·23/3)² = 159,1
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 160
Antwoord
n = 160
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Toetsingsgrootheid
t = (47,8 − 50)/1 = −2,2
Antwoord
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 17
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,645·5/2)² = 16,91
Naar boven afronden
n = 17
Antwoord
n = 17
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9578
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 502/5 = 100,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1819
Determinatiecoëfficiënt
r² = 396²/(90·1819) = 0,9578
Antwoord
r² = 0,9578
Ongeveer 95,78% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 23,42
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 127/6 = 21,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5
Regressielijn
b = −39,5/17,5 = −2,257
a = 21,17 − (−2,257)·3,5 = 29,07
ŷ = 29,07 − 2,257·x
Voorspelling
ŷ = 29,07 + (−2,257)·2,5 = 23,42
Antwoord
ŷ = 23,42
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.