Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 5 jaar.
PV = €5 0004,8% / 4n = 5
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €12 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €12 0003% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €10 000, €13 000, €16 000, €21 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €7 000, €5 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 7 000CF3 = 5 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €890. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 10P = €890
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
D/E = 1re = 11%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €43,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7%rd = 7%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 25, 14, 59, 34.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 40?
μ = 50σ = 10x = 40
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €3 inzet. Je wint €9 met kans 0,2 en €30 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 99,9 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99,9 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 85% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 30 telefoons, gemiddelde 135 h, bekende standaardafwijking 10 h. Model 2: 60 telefoons, gemiddelde 140 h, bekende standaardafwijking 5 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 37. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 76,29 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
In een onderzoek herstellen 90 van de 200 patiënten met behandeling A en 43 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 43n₂ = 80
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (10, 67) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(10, 67)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6347 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,914
A = 12 000·0,0025/(1 − 0,914) = €348,97
Antwoord
A = €348,97
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −3947 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 10 000/1,15 = 8 695,65
CF2/(1 + 0,15)2 = 13 000/1,322 = 9 829,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 16 000/1,521 = 10 520,26
CF4/(1 + 0,15)4 = 21 000/1,749 = 12 006,82
Optellen
NPV = €−3 947,40
Antwoord
NPV = €−3 947,40
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 34,6 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 648,61
NPV(35%) = −52,84
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 30 + 5·648,61/(648,61 − (−52,84)) = 34,62%
exact: NPV(34,6%) = 0 → IRR = 34,6%
Antwoord
IRR = 34,6%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1057 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,0125, N = 6
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,9282)/0,0125 = €129,29
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9282 = €928,17
Koers
P = €1 057,46
Antwoord
P = €1 057,46
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,532 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€890 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53
YTM = 6,532%
Antwoord
YTM = 6,532%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,7 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,2) = 6,7%
Antwoord
WACC = 6,7%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,302 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 4 000 000·€43,00 = €172 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,1·5% = 7,5%
Gewichten
V = €192 000 000, E/V = 0,8958, D/V = 0,1042
WACC
WACC = 0,8958·7,5% + 0,1042·7%·(1 − 0,2) = 7,302%
Antwoord
WACC = 7,302%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 17,44
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,6475
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variantie
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Antwoord
Var(X) = 0,6475
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = −0,6 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)
Verwachtingswaarde
E(G) = 6·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −0,6 €
Antwoord
E(G) = −0,6 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7881
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 255,2 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,85
z uit de tabel
z ≈ 1,04
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Antwoord
x = 255,2 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −8,186 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 135 − 140 = −5
Standaardfout
SE = √(10²/30 + 5²/60) = 1,936
Foutmarge
E = 1,645·1,936 = 3,186
Interval
−5 ± 3,186 → [−8,186, −1,814]
Antwoord
ondergrens = −8,186 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 36338
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·37/0,5)² = 36338
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 36338
Antwoord
n = 36338
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,903
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Toetsingsgrootheid
t = (76,29 − 75)/0,4444 = 2,903
Antwoord
t = 2,903
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −1,325
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 90/200 = 0,45
p̂₂ = 43/80 = 0,5375
p̂ = 133/280 = 0,475
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,475·0,525·(1/200 + 1/80)) = 0,06606
Toetsingsgrootheid
z = (0,45 − 0,5375)/0,06606 = −1,325
Antwoord
z = −1,325
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,963
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 333/5 = 66,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1281
Correlatiecoëfficiënt
r = 327/√(90·1281) = 0,963
Antwoord
r = 0,963
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 3,048
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 334/6 = 55,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290
Regressielijn
b = 290/70 = 4,143
a = 55,67 − 4,143·8 = 22,52
ŷ = 22,52 + 4,143·x
Voorspelde waarde
ŷ = 22,52 + 4,143·10 = 63,95
Residu
e = 67 − 63,95 = 3,048
Antwoord
e = 3,048
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.