Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Het diagram toont z = 1 + j4. Met w = 2∠90°, klik op het punt dat z·w voorstelt.

z = 1 + j4w = 2∠90°

1A (−4 + j)
2B (8 − j2)
3C (−8 + j2)
4D (2 + j8)

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het reële deel van z⁴ te vinden voor z = 1 + j√3.

z = 1 + j√3n = 4

Re(z⁴) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 100 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 22 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,9 uit een voeding van 230 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.

P = 22 kWpf = 0,9V = 230 V

Q = kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 25 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind de benodigde capaciteit C.

P = 25 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een parallel-RLC-schakeling heeft R = 4,7 kΩ, L = 470 µH en C = 220 nF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.

R = 4,7 kΩL = 470 µHC = 220 nF

Q =

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Ontwerp een serie-RLC-filter met een totale weerstand van 10 Ω, een resonantiefrequentie van 50 kHz en een bandbreedte van 2,5 kHz. Bepaal de capaciteit C in nF.

R = 10 Ωf₀ = 50 kHzBW = 2,5 kHz

C = nF

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 12 + j16 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 208 VZ = 12 + j16 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen Q_C dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 75 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W(∞) die in de spoel is opgeslagen als de schakeling tot rust is gekomen, in mJ.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 22 mH

W(∞) = mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 6 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 120 ms.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 120 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 15 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 30 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 15 VI_s = 1,5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de exacte grootte |G(jω)| van G(s) = 480/((s + 15)(s + 16)) bij ω = 4 rad/s, in dB.

G(s) = 480/((s + 15)(s + 16))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 38/(s(s + 10)). Bepaal de versterkingsdoorsnijfrequentie ω_c, waar |L(jω)| = 1.

L(s) = 38/(s(s + 10))

ω_c = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: C (−8 + j2)

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Effect van w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Het punt

z·w = −8 + j2 → C

Antwoord

C (−8 + j2)

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z⁴) = −8

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = 1 + j√3 = 2∠60°

De Moivre

z⁴ = (2)⁴∠240° = 16∠−120°

Rechthoekige vorm

z⁴ = 16·(cos −120° + j sin −120°) = −8 − j13,86

Re(z⁴) = −8

Antwoord

Re(z⁴) = −8

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 53,91 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (109,7)²) = 135,8 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(109,7/80) = 53,91°

Antwoord

φ = 53,91°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,811 A

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (78,33)²) = 127 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 230/127 = 1,811 A

Antwoord

I = 1,811 A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q = 10,66 kvar

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Hoek

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Blindvermogen

Q = P·tan φ = 22·0,4843 = 10,66 kvar

Antwoord

Q = 10,66 kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 1024 µF

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(45,57°) = 25,51 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(11,48°) = 5,076 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20,43 kvar

Capaciteit

Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 20429/(2π·60·230²) = 1024 µF

Antwoord

C = 1024 µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 101,7

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Resonantiefrequentie

ω₀ = 1/√(LC) = 98342 rad/s

Kwaliteitsfactor

Q = R/(ω₀L) = 4700/(98342·0,00047) = 101,7

Antwoord

Q = 101,7

De bandbreedte is 1/(2πRC) = 153,9 Hz.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: C = 15,92 nF

Zelfinductie uit de bandbreedte

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·2500) = 0,0006366 H

Capaciteit uit de resonantiefrequentie

C = 1/((2π·50000)²·0,0006366) = 1,592 × 10⁻⁸ F = 15,92 nF

Antwoord

C = 15,92 nF

Q = f₀/BW = 20.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 3,894 kW

Fasespanning

V_ph = V_L = 208 V

Fasestroom

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 208/20 = 10,4 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·10,4²·12 = 3,894 kW

Antwoord

P = 3,894 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: Q_C = 55,73 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55,73 kvar

Antwoord

Q_C = 55,73 kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W(∞) = 3,96 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

Opgeslagen energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0,6² = 3,96 mJ

Antwoord

W(∞) = 3,96 mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 10,85 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(120) = 12 + (−6)·e^−120/72,6 = 10,85 V

Antwoord

v_C = 10,85 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,2677 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,429 + 20 = 23,43 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(6+8) = 10,29 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 10,29/(23,43 + 15) = 0,2677 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 17,03 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 20·25/(20+25) = 11,11 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 11,11 + 8 = 19,11 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,333 + 1,5·11,11 = 25 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 25 + 1,5·8 = 37 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 37/(19,11 + 30) = 0,7534 A

P_L = I_L²·R_L = 0,7534²·30 = 17,03 W

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: |G(jω)| = 5,459 dB

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Vermenigvuldig de groottes

|G(j4)| = 480/(√(4² + 15²)·√(4² + 16²)) = 480/(15,52·16,49) = 1,875

Resultaat

20·log₁₀(1,875) = 5,459 dB

Antwoord

|G(jω)| = 5,459 dB

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω_c = 3,578 rad/s

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 100ω² − 1444 = 0

ω² = (−100 + √(10000 + 4·1444))/2 = 12,8

ω_c = 3,578 rad/s

Antwoord

ω_c = 3,578 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Effect van w

Het punt

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Hoek

Blindvermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Capaciteit

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Zelfinductie uit de bandbreedte

Capaciteit uit de resonantiefrequentie

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Opgeslagen energie

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vermenigvuldig de groottes

Resultaat

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning