Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Wisselstroomimpedantie en fasoren
Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z
Methode
Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)
Methode
Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
RC- en RL-schakelverschijnselen
Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ
Methode
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin en Norton
Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
2Oefenopgaven
1.Complexe getallenGemiddeld
Gegeven z₁ = 2,5∠100° en z₂ = 2∠−95°, bepaal het imaginaire deel van w = z₁·z₂.
z₁ = 2,5∠100°z₂ = 2∠−95°
Im(w) =
2.Complexe getallenMoeilijk
Precies één van de punten A–D is een wortel van z³ = 27∠120°. Klik erop.
w = 27∠120°n = 3
1A (3∠40°)
2B (3∠70°)
3C (3∠−40°)
4D (5,4∠40°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 100 Hz. Vind het werkelijk vermogen P dat uit de voeding wordt opgenomen.
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 1000 Hz. Vind de effectieve stroom I.
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een eenfasige motor neemt 24 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 230 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.
P = 24 kWpf = 0,8V = 230 V
Q = kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een bron van 10 V (rms), 1000 Hz heeft een inwendige impedantie Zs = 5 + j40 Ω. De belastingsimpedantie ZL kan vrij worden gekozen. Vind het maximale werkelijk vermogen Pmax dat aan de belasting kan worden geleverd.
Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 5 + j40 Ω
Pmax = W
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 50 kHz met Q = 3. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f1 exact, in kHz.
f0 = 50 kHzQ = 3
f1 = kHz
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk
De halfvermogensfrequenties van een resonantiekromme zijn 900 kHz en 945 kHz. Bepaal de resonantiefrequentie als hun meetkundig gemiddelde, en daarna de kwaliteitsfactor Q.
f1 = 900 kHzf2 = 945 kHz
Q =
9.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 24 + j18 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 208 VZ = 24 + j18 Ω per fase
P = kW
10.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 120 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 120 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W die op t = 20 ms in de spoel is opgeslagen, in mJ.
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 20 ms
W = mJ
12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de stroom i2 door R2 op t = 20 ms.
Vs = 15 VR1 = 4,7 kΩR2 = 3,3 kΩC = 10 µFt = 20 ms
i2 = mA
13.Thévenin en NortonGemiddeld
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
14.Thévenin en NortonMoeilijk
Een belasting RL = 6 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom IL.
Het getoonde RL-hoogdoorlaatfilter heeft R = 470 Ω, L = 1 mH. Er wordt een sinusvormige ingang van 19 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van vout ten opzichte van vin, in graden.
R = 470 ΩL = 1 mHf = 19 kHz
φ = °
16.Bodediagrammen en margesMoeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 140/(s(s + 10)). Bepaal de fasemarge PM in graden.
L(s) = 140/(s(s + 10))
PM = °
3Oplossingen
1.Complexe getallen
Antwoord: Im(w) = 0,4358
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Modulus en argument van w
|w| = 2,5 · 2 = 5
θ = 100° + (−95)° = 5°
Rechthoekige vorm
Re(w) = 5·cos(5°) = 4,981
Im(w) = 5·sin(5°) = 0,4358
Im(w) = 0,4358
Antwoord
Im(w) = 0,4358
2.Complexe getallen
Antwoord: A (3∠40°)
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Modulus en argumenten van de wortels
|z| = 3
θ = 40°, 160°, −80°
Het punt
A = 3∠40°
Antwoord
A (3∠40°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: P = 1,427 W
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
XL = 31,42 Ω, XC = 72,34 Ω
Impedantie
|Z| = √(80² + (−40,93)²) = 89,86 Ω
Werkelijk vermogen
Spoelen en condensatoren slaan alleen energie op en geven die terug; de weerstand neemt al het werkelijk vermogen op.
I = 12/89,86 = 0,1335 A
P = I²·R = 0,1335²·80 = 1,427 W
Antwoord
P = 1,427 W
4.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: I = 0,03179 A
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
I = V/|Z| = 10/314,6 = 0,03179 A
Antwoord
I = 0,03179 A
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Q = 18 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Hoek
φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75
Blindvermogen
Q = P·tan φ = 24·0,75 = 18 kvar
Antwoord
Q = 18 kvar
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Pmax = 5 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Complex geconjugeerde aanpassing
De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.
ZL = Zs* = 5 − j40 Ω
Maximaal vermogen
I = Vs/(2Rs) = 10/10 = 1 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·5) = 5 W
Antwoord
Pmax = 5 W
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: f1 = 42,36 kHz
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
De bovenste is f₂ = 59,02 kHz; controle: f₂ − f₁ = 16,67 kHz = f₀/Q.
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: Q = 20,49
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Resonantiefrequentie
f0 = √(900000·945000) = 922226 Hz
Bandbreedte
BW = 945000 − 900000 = 45000 Hz
Kwaliteitsfactor
Q = 922226/45000 = 20,49
Antwoord
Q = 20,49
9.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 1,154 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Fasestroom
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 120,1/30 = 4,003 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·4,003²·24 = 1,154 kW
Antwoord
P = 1,154 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
10.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 210,9 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 38,16 kvar
Capaciteit per fase
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12718/(377·400²) = 210,9 µF
Antwoord
Cph = 210,9 µF
11.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: W = 64,94 mJ
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante en eindstroom
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A
Stroom op het gegeven tijdstip
i(t) = 1·(1 − e−20/7,5) = 0,9305 A
Opgeslagen energie
W = ½·L·i² = ½·150·0,9305² = 64,94 mJ
Antwoord
W = 64,94 mJ
12.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: i2 = 1,023 mA
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginspanning van de condensator
In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.
vC(0) = 15·3,3/(4,7 + 3,3) = 6,188 V
Tijdconstante nadat de schakelaar opent
τ = R2·C = 3,3·10 = 33 ms
Ontlading
vC(t) = 6,188·e−20/33 = 3,375 V
i2 = vC/R2 = 3,375/3,3 = 1,023 mA
Antwoord
i2 = 1,023 mA
13.Thévenin en Norton
Antwoord: Vth = 4,5 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 5 = 8,75 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·15/(5+15) = 4,5 V
14.Thévenin en Norton
Antwoord: IL = 1,711 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 2 = 3,5 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 2,5·1,5 = 11,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,25 + 2,5·2 = 16,25 V
Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent
De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.
IL = Vth/(Rth + RL) = 16,25/(3,5 + 6) = 1,711 A
15.Bodediagrammen en marges
Antwoord: φ = 75,75 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Kantelfrequentie
ωc = R/L = 470/0,001 = 470000 rad/s
fc = 74803 Hz → f/fc = 19000/74803 = 0,254
Fase
φ = 90° − atan(0,254) = 75,75°
Antwoord
φ = 75,75°
16.Bodediagrammen en marges
Antwoord: PM = 45,19 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.