Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Bepaal het argument θ van z = 6 + j4 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.

z = 6 + j4

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

De wortels van zⁿ = w met n = 2 en w = 9∠120° zijn z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Bepaal het imaginaire deel van z₁.

w = 9∠120°n = 2k = 1

Im(z₁) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 50 Hz. Vind de arbeidsfactor cos φ van de schakeling.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF

cos φ =

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 60 Hz. Vind de effectieve spanning V_C over de condensator.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 240 V: een belasting van 2 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,65 en een belasting van 17 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,7. Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.

V = 240 VP₁ = 2 kW, pf₁ = 0,65 inductiefP₂ = 17 kW, pf₂ = 0,7 inductief

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 10 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 400 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,9. Vind de benodigde capaciteit C.

P = 10 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 220 Ω, L = 22 mH en C = 47 pF. Bepaal zijn bandbreedte BW in kHz.

R = 220 ΩL = 22 mHC = 47 pF

BW = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een opgeladen condensator van 2,2 µF ontlaadt over een spoel van 4,7 mH met een totale serieweerstand van 0,5 Ω, zodat de oscillatie langzaam uitdooft. De amplitude neemt af als e^−Rt/(2L). Hoeveel perioden n verstrijken voordat de amplitude is gehalveerd? (De verliezen zijn klein, dus de frequentie is f₀.)

L = 4,7 mHC = 2,2 µFR = 0,5 Ω

n =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 4 + j3 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 480 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VZ = 4 + j3 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 80 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Hoe lang na het sluiten van de schakelaar bereikt de stroom 95% van zijn eindwaarde? Vind t.

V_s = 15 VR = 100 ΩL = 33 mH

t = ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 24 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 100 ms.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 Vt = 100 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-spanning V_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 7(s + 9)/(s(s + 3)) bij ω = 3 rad/s, in graden.

G(s) = 7(s + 9)/(s(s + 3))ω = 3 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 4)). Bepaal de faseomslagfrequentie ω₁₈₀, waar ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 4))

ω₁₈₀ = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = 33,69 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Kwadrant

a = 6, b = 4 → I

Referentiehoek

α = atan(4/6) = 33,69°

Argument

θ = α = 33,69°

Antwoord

θ = 33,69°

In poolvorm is z = 7,211∠33,69°.

2.Complexe getallen

Antwoord: Im(z₁) = −2,598

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Modulus van de wortels

9^1/2 = 3

Argument van de wortel

θ₁ = (120° + 360°·1)/2 = 240° → −120°

Rechthoekige vorm

z₁ = 3·(cos −120° + j sin −120°) = −1,5 − j2,598

Im(z₁) = −2,598

Antwoord

Im(z₁) = −2,598

De 2 wortels liggen op de cirkel met straal 3, 180° uit elkaar.

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: cos φ = 0,834

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

X_L = 78,54 Ω, X_C = 144,7 Ω

Impedantie

|Z| = √(100² + (−66,15)²) = 119,9 Ω

Arbeidsfactor

cos φ = R/|Z| = 100/119,9 = 0,834

De schakeling is capacitief, dus de arbeidsfactor is capacitief (voorijlend).

Antwoord

cos φ = 0,834

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_C = 115,6 V

Reactanties

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−227,6)²) = 229,5 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 100/229,5 = 0,4357 A

Spanning over de condensator

V_C = I·X_C = 0,4357·265,3 = 115,6 V

Antwoord

V_C = 115,6 V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 114 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen van elke belasting

Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).

Q₁ = 2·tan(arccos 0,65) = 2,338 kvar

Q₂ = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar

Totalen

P = 2 + 17 = 19 kW

Q = 2,338 + 17,34 = 19,68 kvar

S = √(19² + 19,68²) = 27,36 kVA

Totale stroom

I = S/V = 27356/240 = 114 A

Antwoord

I = 114 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 168,9 µF

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(53,13°) = 13,33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,49 kvar

Capaciteit

Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 8490/(2π·50·400²) = 168,9 µF

Antwoord

C = 168,9 µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: BW = 1,592 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Bandbreedte in rad/s

R/L = 220/0,022 = 10000 rad/s

Bandbreedte in Hz

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1,592 kHz

Antwoord

BW = 1,592 kHz

Met f₀ = 156,5 kHz geeft dit Q = 98,34.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: n = 20,4

Halfwaardetijd van de amplitude

t = 2·0,0047·ln 2/0,5 = 0,01303 s

Aantal perioden

n = t·f₀ = 0,01303·1565 = 20,4

Antwoord

n = 20,4

Snelle formule: n = Q·ln 2/π met Q = 92,44.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 110,6 kW

Fasespanning

V_ph = V_L = 480 V

Fasestroom

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 480/5 = 96 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·96²·4 = 110,6 kW

Antwoord

P = 110,6 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 133,1 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25,92 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8640/(377·415²) = 133,1 µF

Antwoord

C_ph = 133,1 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 0,9886 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

i(∞) = V_s/R = 15/100 = 0,15 A

Los op naar de tijd

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −0,33·ln(0,05) = 0,9886 ms

Antwoord

t = 0,9886 ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 20,76 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 15 + (24 − 15)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(100) = 15 + (9)·e^−100/224,4 = 20,76 V

Antwoord

v_C = 20,76 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: V_th = 9 V

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 5 = 9,8 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·12/(8+12) = 9 V

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 2,333 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 12 = 14,4 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,8 + 2·2,4 = 9,6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,6 + 2·12 = 33,6 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 33,6/14,4 = 2,333 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −116,6 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(3/9) − 90° − atan(3/3) = 18,43° − 90° − 45°

Resultaat

∠G(j3) = −116,6°

Antwoord

∠G(jω) = −116,6°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω₁₈₀ = 2,828 rad/s

Faseomslag

(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·4) = 2,828 rad/s

Antwoord

ω₁₈₀ = 2,828 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Kwadrant

Referentiehoek

Argument

Antwoord

Modulus van de wortels

Argument van de wortel

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Arbeidsfactor

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Spanning over de condensator

Antwoord

Blindvermogen van elke belasting

Totalen

Totale stroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Capaciteit

Antwoord

Bandbreedte in rad/s

Bandbreedte in Hz

Antwoord

Halfwaardetijd van de amplitude

Aantal perioden

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Los op naar de tijd

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Faseomslag

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning