Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Het getal z = 4·e^−j0,5 heeft zijn hoek in radialen. Bepaal het reële deel a.

r = 4θ = −0,5 rad

a =

2.Complexe getallenMoeilijk

Eén wortel van z³ + 7z² + 24z + 18 = 0 is z₁ = −3 + j3. De coëfficiënten zijn reëel. Bepaal de reële wortel r.

z₁ = −3 + j3

r =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een weerstand R₁ staat in serie met een parallelschakeling van R₂ en een condensator C, aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 200 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 9 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,85 uit een voeding van 240 V. Vind de lijnstroom I.

P = 9 kWpf = 0,85V = 240 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 45 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 400 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,92. Vind het blindvermogen Q_C dat de condensator moet leveren.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 100 Ω, L = 47 mH en C = 100 pF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.

R = 100 ΩL = 47 mHC = 100 pF

Q =

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een opgeladen condensator van 470 pF ontlaadt over een spoel van 220 µH met een totale serieweerstand van 20 Ω, zodat de oscillatie langzaam uitdooft. De amplitude neemt af als e^−Rt/(2L). Hoeveel perioden n verstrijken voordat de amplitude is gehalveerd? (De verliezen zijn klein, dus de frequentie is f₀.)

L = 220 µHC = 470 pFR = 20 Ω

n =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 40 A op uit een net met een lijnspanning van 208 V. De arbeidsfactor is 0,7 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 208 VI_L = 40 Acos φ = 0,7

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen Q_C dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning v_L over de spoel op t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 15 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 9 V bereikt, precies 100 ms na de start. Vind met R = 22 kΩ de benodigde capaciteit C.

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 100 msR = 22 kΩ

C = µF

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 47 kΩ, C = 22 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 310 Hz aangelegd. Bepaal de versterking |H| = |v_out/v_in| in dB.

R = 47 kΩC = 22 nFf = 310 Hz

|H| = dB

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 82/(s(s + 5)(s + 6)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 82/(s(s + 5)(s + 6))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: a = 3,51

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Formule van Euler

z = 4·(cos −0,5 + j sin −0,5)

Componenten (radialen)

a = 4·cos −0,5 = 3,51

b = 4·sin −0,5 = −1,918

a = 3,51

Antwoord

a = 3,51

2.Complexe getallen

Antwoord: r = −1

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Geconjugeerd paar

z₂ = −3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 3²) = z² + 6z + 18

Splits de kwadratische factor af

z³ + 7z² + 24z + 18 = (z² + 6z + 18)(z + 1)

Reële wortel

r = −1

Antwoord

r = −1

Controleer met de som van de wortels: z₁ + z₂ + r = −6 + (−1) = −7 = −(7).

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −85,87 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−138,4)²) = 138,8 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−138,4/10) = −85,87°

Antwoord

φ = −85,87°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 103,6 Ω

Reactantie

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Z_p te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 32,94 − j62,1 Ω

Totale impedantie

Z = 50 + 32,94 − j62,1 = 82,94 − j62,1 Ω

|Z| = √(82,94² + 62,1²) = 103,6 Ω

Antwoord

|Z| = 103,6 Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 44,12 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 9000/(240·0,85) = 44,12 A

Antwoord

I = 44,12 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q_C = 20,52 kvar

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20,52 kvar

Antwoord

Q_C = 20,52 kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 216,8

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Karakteristieke impedantie

√(L/C) = √(0,047/1 × 10⁻¹⁰) = 21679 Ω

Kwaliteitsfactor

Q = 21679/100 = 216,8

Antwoord

Q = 216,8

De resonantiefrequentie is 73,41 kHz, dus BW = f₀/Q = 338,6 Hz.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: n = 7,548

Halfwaardetijd van de amplitude

t = 2·0,00022·ln 2/20 = 1,525 × 10⁻⁵ s

Aantal perioden

n = t·f₀ = 1,525 × 10⁻⁵·494948 = 7,548

Antwoord

n = 7,548

Snelle formule: n = Q·ln 2/π met Q = 34,21.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 10,09 kW

Schijnbaar vermogen

S = √3·V_L·I_L = √3·208·40 = 14,41 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 14,41·0,7 = 10,09 kW

Antwoord

P = 10,09 kW

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: Q_C = 26,57 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,57 kvar

Antwoord

Q_C = 26,57 kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_L = 0,03369 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/0,2 = 0,03369 V

Antwoord

v_L = 0,03369 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: C = 4,961 µF

Benodigde tijdconstante

9 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 9))

τ = 100/0,9163 = 109,1 ms

Capaciteit

kΩ maal µF geeft milliseconden.

C = τ/R = 109,1/22 = 4,961 µF

Antwoord

C = 4,961 µF

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 1,887 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,609 + 2 = 4,609 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·20/(3+20) = 8,696 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 8,696/4,609 = 1,887 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,04962 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 25·3/(25+3) = 2,679 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,679 + 2 = 4,679 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,571 + (−0,5)·2,679 = 1,232 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1,232 + (−0,5)·2 = 0,2321 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 0,2321/4,679 = 0,04962 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: |H| = −0,957 dB

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·2,2 × 10⁻⁸) = 967,1 rad/s

f_c = 153,9 Hz → f/f_c = 310/153,9 = 2,014

Versterking

|H| = 2,014/√(1 + 2,014²) = 0,8957

20·log₁₀(0,8957) = −0,957 dB

Antwoord

|H| = −0,957 dB

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 12,09 dB

Faseomslag

(ω/5)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·6) = 5,477 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 36)) = K/(5·6·(5 + 6)) = K/330

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(330/82) = 12,09 dB

Antwoord

GM = 12,09 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Formule van Euler

Componenten (radialen)

Antwoord

Geconjugeerd paar

Splits de kwadratische factor af

Reële wortel

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Reactantie

Parallelschakeling

Totale impedantie

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Antwoord

Karakteristieke impedantie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Halfwaardetijd van de amplitude

Aantal perioden

Antwoord

Schijnbaar vermogen

Werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Spoelspanning

Antwoord

Benodigde tijdconstante

Capaciteit

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Kantelfrequentie

Versterking

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning