Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Schrijf z = 5∠−20° in rechthoekige vorm a + jb en geef het reële deel a.

r = 5θ = −20°

a =

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het reële deel van z⁷ te vinden voor z = 1 + j.

z = 1 + jn = 7

Re(z⁷) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 50 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mH

|Z| = Ω

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 10 Ω, L = 1 mH en C = 0,047 µF. Vind de kwaliteitsfactor Q bij resonantie.

R = 10 ΩL = 1 mHC = 0,047 µF

Q =

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 240 V: een belasting van 26 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,6 en een verwarmingselement van 26 kW (arbeidsfactor 1). Vind de totale arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.

V = 240 VP₁ = 26 kW, pf₁ = 0,6 inductiefP₂ = 26 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 40 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 400 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind de nieuwe lijnstroom I_new.

P = 40 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 100 kHz met Q = 2,5. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f₁ exact, in kHz.

f₀ = 100 kHzQ = 2,5

f₁ = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een parallelle kring bestaat uit een condensator van 470 nF en een spoel van 470 µH met een wikkelweerstand van 2 Ω. Bij resonantie gedraagt hij zich als een weerstand, zijn dynamische weerstand R_D = L/(C·r). Bepaal R_D in kΩ.

L = 470 µHC = 470 nFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 60 A op uit een net met een lijnspanning van 690 V. De arbeidsfactor is 0,8 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 690 VI_L = 60 Acos φ = 0,8

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 415 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 15 ms.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 15 ms

i = A

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 12 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 10,8 V bereikt, precies 500 ms na de start. Vind met C = 22 µF de benodigde weerstand R.

V_s = 12 VV_th = 10,8 VT = 500 msC = 22 µF

R = kΩ

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 20 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

In het getoonde serie-RLC-banddoorlaatfilter staat de uitgang over R = 10 Ω, met L = 10 mH en C = 10 µF. Bepaal de −3 dB-bandbreedte BW in Hz.

R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF

BW = Hz

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 166/(s(s + 5)(s + 6)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 166/(s(s + 5)(s + 6))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: a = 4,698

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Componenten

a = 5·cos(−20°) = 4,698

b = 5·sin(−20°) = −1,71

Rechthoekige vorm

z = 4,698 − j1,71

a = 4,698

Antwoord

a = 4,698

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z⁷) = 8

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = 1 + j = √2∠45°

De Moivre

z⁷ = (√2)⁷∠315° = 11,31∠−45°

Rechthoekige vorm

z⁷ = 11,31·(cos −45° + j sin −45°) = 8 − j8

Re(z⁷) = 8

Antwoord

Re(z⁷) = 8

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 43,39 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_L = ωL = 2π·50·0,2 = 62,83 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 230/60 = 3,833 A

I_X = V/X_L = 230/62,83 = 3,661 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3,833² + 3,661²) = 5,3 A

Impedantie

|Z| = V/I = 230/5,3 = 43,39 Ω

Antwoord

|Z| = 43,39 Ω

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: Q = 14,59

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,001/(0,047·10⁻⁶)) = 14,59

Antwoord

Q = 14,59

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: cos φ = 0,8321

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Blindvermogen van elke belasting

Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).

Q₁ = 26·tan(arccos 0,6) = 34,67 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Totalen

P = 26 + 26 = 52 kW

Q = 34,67 + 0 = 34,67 kvar

S = √(52² + 34,67²) = 62,5 kVA

Totale arbeidsfactor

cos φ = P/S = 52/62,5 = 0,8321 inductief

Antwoord

cos φ = 0,8321

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I_new = 102 A

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(41,41°) = 35,28 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(11,48°) = 8,122 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27,15 kvar

Nieuwe lijnstroom

I_new = P/(V·cos φ₂) = 40000/(400·0,98) = 102 A

Antwoord

I_new = 102 A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: f₁ = 81,98 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Wortelterm

√(1 + 1/(4·2,5²)) = 1,02

Onderste halfvermogensfrequentie

f₁ = 100000·(1,02 − 0,2) = 81980 Hz = 81,98 kHz

Antwoord

f₁ = 81,98 kHz

De bovenste is f₂ = 122 kHz; controle: f₂ − f₁ = 40 kHz = f₀/Q.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R_D = 0,5 kΩ

Dynamische weerstand

R_D = 0,00047/(4,7 × 10⁻⁷·2) = 500 Ω = 0,5 kΩ

Controle met Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 15,81, Q²·r = 500 Ω

Antwoord

R_D = 0,5 kΩ

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 57,37 kW

Schijnbaar vermogen

S = √3·V_L·I_L = √3·690·60 = 71,71 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 71,71·0,8 = 57,37 kW

Antwoord

P = 57,37 kW

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 374,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,8) = 75·0,75 = 56,25 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 24,3 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8100/(377·239,6²) = 374,3 µF

Antwoord

C_ph = 374,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,5179 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6667·(1 − e^−15/10) = 0,5179 A

Antwoord

i = 0,5179 A

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: R = 9,87 kΩ

Benodigde tijdconstante

10,8 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 10,8))

τ = 500/2,303 = 217,1 ms

Weerstand

kΩ maal µF geeft milliseconden.

R = τ/C = 217,1/22 = 9,87 kΩ

Antwoord

R = 9,87 kΩ

13.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 7,158 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 4 = 7,158 Ω

14.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 6,666 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 25·12/(25+12) = 8,108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,108 + 10 = 18,11 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,892 + 1·8,108 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + 1·10 = 22 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 22/(18,11 + 20) = 0,5773 A

P_L = I_L²·R_L = 0,5773²·20 = 6,666 W

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: BW = 159,2 Hz

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Resonantiefrequentie

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·1 × 10⁻⁵) = 3162 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 503,3 Hz

Bandbreedte

BW = R/L = 10/0,01 = 1000 rad/s = 159,2 Hz

Antwoord

BW = 159,2 Hz

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 5,968 dB

Faseomslag

(ω/5)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·6) = 5,477 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 36)) = K/(5·6·(5 + 6)) = K/330

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(330/166) = 5,968 dB

Antwoord

GM = 5,968 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Componenten

Rechthoekige vorm

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Impedantie

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Blindvermogen van elke belasting

Totalen

Totale arbeidsfactor

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuwe lijnstroom

Antwoord

Wortelterm

Onderste halfvermogensfrequentie

Antwoord

Dynamische weerstand

Controle met Q

Antwoord

Schijnbaar vermogen

Werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Stroom op het gegeven tijdstip

Antwoord

Benodigde tijdconstante

Weerstand

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Resonantiefrequentie

Bandbreedte

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning