Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 11 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 5 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 11 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 5%n = 11
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €7 000 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een investering van €25 000 levert 10 jaar lang aan het eind van elk jaar €4 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €25 000CF = €4 500n = 10
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 9%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 055. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De WACC is 12,23%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,75. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een product wordt verkocht voor €9 met variabele kosten van €6 per stuk. De vaste kosten zijn €15 000 per maand en over de winst wordt 20 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €4 500 na belasting te verdienen?
p = €9v = €6F = €15 000T = 20%winst na belasting = €4 500
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 4 000 stuks voor €32 per stuk, met variabele kosten van €12 per stuk en vaste kosten van €50 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 5 % daalt?
Q = 4 000p = €32v = €12F = €50 000%ΔQ = −5%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 1 × 10⁶ €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,05)11 − 1)/0,05 = 14,21
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·14,21·1,05 = €14 917,13
Antwoord
FV = €14 917,13
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,163 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 7 000/1,05 = 6 666,67 → Σ = 6 666,67
jaar 2: 7 000/1,103 = 6 349,21 → Σ = 13 015,87
jaar 3: 7 000/1,158 = 6 046,86 → Σ = 19 062,74
jaar 4: 7 000/1,216 = 5 758,92 → Σ = 24 821,65
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 937,26/5 758,92 = 3,163
Antwoord
DPB = 3,163 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,857 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 12,41 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−10)/i = 25 000/4 500 = 5,556
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 12%: 5,65
i = 13%: 5,426
IRR = 12,41%
Antwoord
IRR = 12,41%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 674,8 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,045, N = 20
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,4146)/0,045 = €260,16
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4146 = €414,64
Koers
P = €674,80
Antwoord
P = €674,80
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,054 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Antwoord
YTM = 3,054%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,1667·4,5%·(1 − 0,25) = 0,5625%
Kosten van het eigen vermogen
re = (12,23% − 0,5625%)/0,8333 = 14%
Antwoord
re = 14%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 10,43 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1/(1 + 0,8·0,5) = 0,7143
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,7143·(1 + 0,8·0,75) = 1,143
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,143·6,5% = 10,43%
Antwoord
re = 10,43%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 6875 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
4 500/(1 − 0,2) = €5 625
Benodigde eenheden
Q = (15 000 + 5 625)/3 = 6 875
Antwoord
Q = 6 875 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = −13,33 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.