Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €1 0006% / 12n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 15 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €150 0003% / 12N = 180
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €10 000, €6 000, €5 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €3 500, €4 000, €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 4 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 4 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 037 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 4P = €1 037YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 256. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 256aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €9,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 6%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €10 000 per jaar en variabele kosten van €12 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €20 000 per jaar en variabele kosten van €7 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €10 000vA = €12FB = €20 000vB = €7
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 3 000 stuks voor €11 per stuk, met variabele kosten van €8 per stuk en vaste kosten van €4 500. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 5 % stijgt?
Q = 3 000p = €11v = €8F = €4 500%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1714 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 10 000/1,1 = 9 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 6 000/1,21 = 4 958,68
CF3/(1 + 0,1)3 = 5 000/1,331 = 3 756,57
Optellen
NPV = €−2 193,84
Antwoord
NPV = €−2 193,84
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 18,55 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 670,67
NPV(20%) = −254,63
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 15 + 5·670,67/(670,67 − (−254,63)) = 18,62%
exact: NPV(18,55%) = 0 → IRR = 18,55%
Antwoord
IRR = 18,55%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 3,995 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−4 = €888,49
Coupon
C = (1037 − 888,49)/3,717 = €39,95
Couponrente
c = 39,95/1000 = 3,995%
Antwoord
c = 3,995%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 2,771 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1256 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 2%: €1 299,07
y = 3%: €1 243,57
YTC = 2,771%
Antwoord
YTC = 2,771%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 4,496%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,3 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
10 000 + 12Q = 20 000 + 7Q
Los Q op
Q = (20 000 − 10 000)/(12 − 7) = 2 000
Antwoord
Q = 2 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = 10 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.