Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 5 jaar €15 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €15 0004,8% / 4n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 10 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 3 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 10 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 3%n = 10
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €14 500, €20 500, €17 000, €17 500, €19 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €25 500, €25 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 25 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3% naar 4,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 6%n = 12y1 = 3%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 014. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 3P = €1 014
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De WACC is 6,66%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 28%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €6 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 14%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 8 jaar) die elk op €1 030 noteren. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een product wordt verkocht voor €19 per stuk met variabele kosten van €15 per stuk. De vaste kosten zijn €20 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €10 000?
F = €20 000p = €19v = €15winst = €10 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €37 per stuk, met variabele kosten van €25 per stuk en vaste kosten van €30 000 per jaar. De begrote afzet is 2 880 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €30 000p = €37v = €25begroting = 2 880
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 11816 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·5 = 20
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,269 = €11 816,29
Antwoord
PV = €11 816,29
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 11808 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,03)10 − 1)/0,03 = 11,46
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·11,46·1,03 = €11 807,80
Antwoord
FV = €11 807,80
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,202 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 14 500/1,05 = 13 809,52 → Σ = 13 809,52
jaar 2: 20 500/1,103 = 18 594,10 → Σ = 32 403,63
jaar 3: 17 000/1,158 = 14 685,24 → Σ = 47 088,87
jaar 4: 17 500/1,216 = 14 397,29 → Σ = 61 486,16
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 2 911,13/14 397,29 = 3,202
Antwoord
DPB = 3,202 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,882 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 17,85 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 1 455,58
NPV(20%) = −1 041,67
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, N = 6
Los numeriek op
i = 1,752% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,752% = 3,504%
Antwoord
YTM = 3,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,5·6%·(1 − 0,28) = 2,16%
Kosten van het eigen vermogen
re = (6,66% − 2,16%)/0,5 = 9%
Antwoord
re = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,62 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).