Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €20 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €20 0003% / 12n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 24 jaar lang aan het begin van elk jaar €2 500, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 6 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 24 op de rekening? Bereken FV.
A = €2 500i = 6%n = 24
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000. Ze levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €13 500 op en kan daarna voor €16 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €80 000CF = €13 500S = €16 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €18 500, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 15 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 146. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 12P = €1 146
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €10 000 per jaar en variabele kosten van €20 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €20 000 per jaar en variabele kosten van €15 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €10 000vA = €20FB = €20 000vB = €15
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €12 met variabele kosten van €8; product B voor €25 met variabele kosten van €10. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 3 stuks A op elke 1 B. De vaste kosten zijn €8 100 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €12, vA = €8pB = €25, vB = €10A : B = 3 : 1F = €8 100
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 21881 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,06)24 − 1)/0,06 = 50,82
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 2 500·50,82·1,06 = €134 661,28
Antwoord
FV = €134 661,28
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −2337 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 833,33
NPV(25%) = −600,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 20 + 5·833,33/(833,33 − (−600,00)) = 22,91%
exact: NPV(22,84%) = 0 → IRR = 22,84%
Antwoord
IRR = 22,84%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1071 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,035, N = 20
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €568,50
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5026 = €502,57
Koers
P = €1 071,06
Antwoord
P = €1 071,06
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,5 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, N = 24
Los numeriek op
i = 1,75% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,75% = 3,5%
Antwoord
YTM = 3,5%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,4 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·4%·(1 − 0,3) = 6,4%
Antwoord
WACC = 6,4%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,429 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
10 000 + 20Q = 20 000 + 15Q
Los Q op
Q = (20 000 − 10 000)/(20 − 15) = 2 000
Antwoord
Q = 2 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 1200 stuks
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.