Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €12 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1 % per jaar. Het vereiste rendement is 3 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €12 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €350 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €3502,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €7 000, €8 000, €5 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €20 000, €23 000, €21 500, €15 500 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 6 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 10 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €915 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 10P = €915YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Ze wordt verkocht voor €599. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 12P = €599
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 0,9 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,75. Het belastingtarief is 25%, de risicovrije rente 1,5% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €25 000 per jaar en variabele kosten van €18 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €29 000 per jaar en variabele kosten van €16 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €25 000vA = €18FB = €29 000vB = €16
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 3 130 stuks voor €14 per stuk, met variabele kosten van €4 per stuk en vaste kosten van €25 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 10 % daalt?
Q = 3 130p = €14v = €4F = €25 000%ΔQ = −10%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 600000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,002/350 = 0,9314
Los op met logaritmen
N = −ln(0,9314)/ln(1,002) = 35,55
Rond naar boven af op hele betalingen
35 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 36
Antwoord
N = 36 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −4576 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 7 000/1,15 = 6 086,96
CF2/(1 + 0,15)2 = 8 000/1,322 = 6 049,15
CF3/(1 + 0,15)3 = 5 000/1,521 = 3 287,58
Optellen
NPV = €−4 576,31
Antwoord
NPV = €−4 576,31
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 15,16 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
20 000·1,063 = 23 820,32
23 000·1,062 = 25 842,80
21 500·1,061 = 22 790,00
15 500·1,060 = 15 500,00
TV = 87 953,12
MIRR
MIRR = (87 953,12/50 000)1/4 − 1 = 15,16%
Antwoord
MIRR = 15,16%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 2,004 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−10 = €744,09
Coupon
C = (915 − 744,09)/8,53 = €20,04
Couponrente
c = 20,04/1000 = 2,004%
Antwoord
c = 2,004%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,992 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, N = 24
Los numeriek op
i = 3,496% per halfjaar
YTM
YTM = 2·3,496% = 6,992%
Antwoord
YTM = 6,992%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,933 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·14% + 0,6667·7%·(1 − 0,3) = 7,933%
Antwoord
WACC = 7,933%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 7,003 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 0,9/(1 + 0,75·0,2) = 0,7826
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,7826·(1 + 0,75·0,75) = 1,223
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,223·4,5% = 7,003%
Antwoord
re = 7,003%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
25 000 + 18Q = 29 000 + 16Q
Los Q op
Q = (29 000 − 25 000)/(18 − 16) = 2 000
Antwoord
Q = 2 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = −49,68 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.