Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €8 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 9 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 22 jaar lang aan het begin van elk jaar €5 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 5 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 22 op de rekening? Bereken FV.
A = €5 000i = 5%n = 22
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €28 000, €24 000, €36 000, €33 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €21 500, €32 500, €18 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 32 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 3% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 3%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €1 155. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 10P = €1 155
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 7% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
D/E = 0,75re = 14%rd = 7%T = 28%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €45,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €13 500 000. Ze heeft net een dividend van €1,10 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €27 000 000 en kosten vóór belasting van 6%. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €25 000 per jaar en variabele kosten van €20 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €37 500 per jaar en variabele kosten van €15 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €25 000vA = €20FB = €37 500vB = €15
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €26 per stuk, met variabele kosten van €20 per stuk en vaste kosten van €30 000 per jaar. De begrote afzet is 6 250 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €30 000p = €26v = €20begroting = 6 250
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 133333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,05)22 − 1)/0,05 = 38,51
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 5 000·38,51·1,05 = €202 152,38
Antwoord
FV = €202 152,38
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 24336 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 28 000/1,08 = 25 925,93
CF2/(1 + 0,08)2 = 24 000/1,166 = 20 576,13
CF3/(1 + 0,08)3 = 36 000/1,26 = 28 577,96
CF4/(1 + 0,08)4 = 33 000/1,36 = 24 255,99
Optellen
NPV = €24 336,00
Antwoord
NPV = €24 336,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 21,17 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 902,78
NPV(25%) = −2 784,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,015, N = 6
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €170,92
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9145 = €914,54
Koers
P = €1 085,46
Antwoord
P = €1 085,46
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,993 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·14% + 0,4286·7%·(1 − 0,28) = 10,16%
Antwoord
WACC = 10,16%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,664 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 1,1·1,04 = €1,14
re = 1,144/45 + 0,04 = 6,542%
Marktwaarden
E = 1 000 000·€45,00 = €45 000 000
V = €72 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·6,542% + 0,375·6%·(1 − 0,3) = 5,664%
Antwoord
WACC = 5,664%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
25 000 + 20Q = 37 500 + 15Q
Los Q op
Q = (37 500 − 25 000)/(20 − 15) = 2 500
Antwoord
Q = 2 500 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 20 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).