Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €3 0004,8% / 4n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €5 000 tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €150 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €5 000A = €1504,8% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €60 000, gaat 10 jaar mee en kost €2 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €60 000M = €2 000n = 10r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €33 500, €26 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 33 500CF2 = 26 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 15 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €948 als het effectieve rendement 5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 15P = €948YTM = 5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 9%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 5%n = 4YTM = 9%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De WACC is 12,95%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €43,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 9%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een bedrijf verkoopt 3 000 stuks voor €45 per stuk. De variabele kosten zijn €25 per stuk en de vaste kosten €30 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 3 000p = €45v = €25F = €30 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 750 stuks voor €20 per stuk, met variabele kosten van €18 per stuk en vaste kosten van €1 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 15 % daalt?
Q = 750p = €20v = €18F = €1 000%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3462 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,004/150 = 0,8667
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85
Rond naar boven af op hele betalingen
35 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 36
Antwoord
N = 36 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9770 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−10)/0,05 = 7,722
Aanschafprijs omgerekend per jaar
60 000/7,722 = 7 770,27
EAC
EAC = 7 770,27 + 2 000 = €9 770,27
Antwoord
EAC = €9 770,27
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 13,64 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 2 355,37
NPV(15%) = −831,76
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,05)−15 = €481,02
Coupon
C = (948 − 481,02)/10,38 = €44,99
Couponrente
c = 44,99/1000 = 4,499%
Antwoord
c = 4,499%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 3,701 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 50/1,09 = 45,87, t·PV = 45,87
t = 2: 50/1,188 = 42,08, t·PV = 84,17
t = 3: 50/1,295 = 38,61, t·PV = 115,83
t = 4: 1050/1,412 = 743,85, t·PV = 2 975,39
Duration
P = 870,41
D = 3 221,25/870,41 = 3,701
Antwoord
D = 3,701 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,09091·3%·(1 − 0,2) = 0,2182%
Kosten van het eigen vermogen
re = (12,95% − 0,2182%)/0,9091 = 14%
Antwoord
re = 14%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,398 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 3 000·(45 − 25) = €60 000
Bedrijfsresultaat
Π = 60 000 − 30 000 = €30 000
DOL
DOL = 60 000/30 000 = 2
Antwoord
DOL = 2
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = −45 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.