Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 17 jaar lang aan het eind van elk jaar €1 000. De rente is 4 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €1 000i = 4%n = 17
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 10 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3002,4% / 12N = 120
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €16 000, €23 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €3 500, €6 000, €3 500 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 8 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5,5% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 5%n = 8y1 = 5,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 045 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 5,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 75 basispunten stijgt.
P0 = €1 045y = 3%D = 5,5Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €12 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €24,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 7%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een bedrijf verkoopt 1 280 stuks voor €32 per stuk. De variabele kosten zijn €12 per stuk en de vaste kosten €16 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 1 280p = €32v = €12F = €16 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 1 000 stuks per maand voor €32 per stuk, met variabele kosten van €30 per stuk en vaste kosten van €1 600 per maand. De variabele kosten stijgen met €1 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 1 000p = €32v = €30 → €31F = €1 600
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 12166 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5134)/0,04 = 12,17
Contante waarde
PV = 1 000·12,17 = €12 165,67
Antwoord
PV = €12 165,67
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 40642 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 16 000/1,05 = 15 238,10
CF2/(1 + 0,05)2 = 23 000/1,103 = 20 861,68
CF3/(1 + 0,05)3 = 26 000/1,158 = 22 459,78
Optellen
NPV = €−1 440,45
Antwoord
NPV = €−1 440,45
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 12,03 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
3 500·1,082 = 4 082,40
6 000·1,081 = 6 480,00
3 500·1,080 = 3 500,00
TV = 14 062,40
MIRR
MIRR = (14 062,40/10 000)1/3 − 1 = 12,03%
Antwoord
MIRR = 12,03%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 99 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 5,5/1,03 = 5,34
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −5,34·(0,0075) = −4,005%
P ≈ 1045·(1 − 0,04005) = €1 003,15
Antwoord
P = €1 003,15
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,419 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 1 280·(32 − 12) = €25 600
Bedrijfsresultaat
Π = 25 600 − 16 000 = €9 600
DOL
DOL = 25 600/9 600 = 2,667
Antwoord
DOL = 2,667
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).