Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 15 jaar lang aan het eind van elk jaar €5 000. De rente is 4 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €5 000i = 4%n = 15
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 12 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1006% / 12N = 144
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000. Ze levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 000 op en kan daarna voor €3 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €30 000CF = €8 000S = €3 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €25 000 levert 8 jaar lang aan het eind van elk jaar €6 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €25 000CF = €6 500n = 8
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 5 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%) als het effectieve rendement 3,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 5y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Ze wordt verkocht voor €969. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 7P = €969
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 1% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 28%rf = 1%rm − rf = 6%
re = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €31 per stuk met variabele kosten van €25 per stuk. De vaste kosten zijn €30 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €6 000?
F = €30 000p = €31v = €25winst = €6 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €11 met variabele kosten van €8; product B voor €23 met variabele kosten van €15. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 2 stuks A op elke 1 B. De vaste kosten zijn €7 000 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €11, vA = €8pB = €23, vB = €15A : B = 2 : 1F = €7 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 55592 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5553)/0,04 = 11,12
Contante waarde
PV = 5 000·11,12 = €55 591,94
Antwoord
PV = €55 591,94
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 21015 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
8 000·3,993 = 31 941,68
Contante waarde van de restwaarde
3 000/1,469 = 2 041,75
NPV
NPV = −30 000 + 31 941,68 + 2 041,75 = €3 983,43
Antwoord
NPV = €3 983,43
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 19,92 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−8)/i = 25 000/6 500 = 3,846
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 19%: 3,954
i = 20%: 3,837
IRR = 19,92%
Antwoord
IRR = 19,92%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 7,222 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, N = 14
Los numeriek op
i = 1,752% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,752% = 3,503%
Antwoord
YTM = 3,503%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,02 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,5) = 1,632
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1% + 1,632·6% = 10,79%
Antwoord
re = 10,79%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 6000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.