Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 16 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 000. De rente is 4 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €8 000i = 4%n = 16
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €450 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €4503,6% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €6 500 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een investering van €80 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €30 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €80 000CF = €30 000n = 3
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 13 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5% naar 5,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 13y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 014. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 3P = €1 014
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De WACC is 6,64%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen die noteren op €59,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €141 600 000. Ze heeft net een dividend van €1,60 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 5% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €188 800 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een bedrijf verkoopt 2 400 stuks voor €14 per stuk. De variabele kosten zijn €12 per stuk en de vaste kosten €4 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 2 400p = €14v = €12F = €4 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 3 000 stuks per maand voor €35 per stuk, met variabele kosten van €15 per stuk en vaste kosten van €40 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €4 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 3 000p = €35v = €15 → €19F = €40 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 93218 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5339)/0,04 = 11,65
Contante waarde
PV = 8 000·11,65 = €93 218,36
Antwoord
PV = €93 218,36
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 36 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,003/450 = 0,9
Los op met logaritmen
N = −ln(0,9)/ln(1,003) = 35,17
Rond naar boven af op hele betalingen
35 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 36
Antwoord
N = 36 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,51 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 6 500/1,06 = 6 132,08 → Σ = 6 132,08
jaar 2: 6 500/1,124 = 5 784,98 → Σ = 11 917,05
jaar 3: 6 500/1,191 = 5 457,53 → Σ = 17 374,58
jaar 4: 6 500/1,262 = 5 148,61 → Σ = 22 523,19
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 2 625,42/5 148,61 = 3,51
Antwoord
DPB = 3,51 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,077 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 6,129 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/30 000 = 2,667
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 6%: 2,673
i = 7%: 2,624
IRR = 6,129%
Antwoord
IRR = 6,129%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −53,88 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, N = 6
Los numeriek op
i = 1,256% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,256% = 2,513%
Antwoord
YTM = 2,513%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8,995 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,4286·5%·(1 − 0,3) = 1,5%
Kosten van het eigen vermogen
re = (6,64% − 1,5%)/0,5714 = 8,995%
Antwoord
re = 8,995%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,693 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 2 400·(14 − 12) = €4 800
Bedrijfsresultaat
Π = 4 800 − 4 000 = €800
DOL
DOL = 4 800/800 = 6
Antwoord
DOL = 6
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 3750 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).