Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 25 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 25%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 23 jaar lang aan het begin van elk jaar €2 500, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 8 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 23 op de rekening? Bereken FV.
A = €2 500i = 8%n = 23
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €19 000, €21 000, €19 500, €10 000, €17 500 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €28 500, €25 000, €34 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 25 000CF3 = 34 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 15y1 = 3,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €970 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 6,7 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten stijgt.
P0 = €970y = 6%D = 6,7Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,25. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,5. Het belastingtarief is 25%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €30 000 per jaar en variabele kosten van €10 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €33 000 per jaar en variabele kosten van €4 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €30 000vA = €10FB = €33 000vB = €4
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €47 per stuk, met variabele kosten van €45 per stuk en vaste kosten van €2 000 per jaar. De begrote afzet is 1 300 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €2 000p = €47v = €45begroting = 1 300
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 26,56 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,25/2 = 0,125
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,125)2 − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%
Antwoord
EAR = 26,56%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 164412 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,08)23 − 1)/0,08 = 60,89
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 2 500·60,89·1,08 = €164 411,90
Antwoord
FV = €164 411,90
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 2,818 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 19 000/1,06 = 17 924,53 → Σ = 17 924,53
jaar 2: 21 000/1,124 = 18 689,93 → Σ = 36 614,45
jaar 3: 19 500/1,191 = 16 372,58 → Σ = 52 987,03
Fractie van het laatste jaar
DPB = 2 + 13 385,55/16 372,58 = 2,818
Antwoord
DPB = 2,818 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,513 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 33,02 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 2 191,62
NPV(35%) = −1 352,44
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 6,7/1,06 = 6,321
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −6,321·(0,0025) = −1,58%
P ≈ 970·(1 − 0,0158) = €954,67
Antwoord
P = €954,67
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,969 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·12% + 0,625·5%·(1 − 0,21) = 6,969%
Antwoord
WACC = 6,969%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 10,55 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1/(1 + 0,75·0,25) = 0,8421
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,8421·(1 + 0,75·1,5) = 1,789
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,789·4,5% = 10,55%
Antwoord
re = 10,55%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
30 000 + 10Q = 33 000 + 4Q
Los Q op
Q = (33 000 − 30 000)/(10 − 4) = 500
Antwoord
Q = 500 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 23,08 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).