Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 9 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0003,6% / 12n = 9
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1007,2% / 12N = 204
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €21 000, €15 000, €19 000, €20 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 000, €4 000, €2 500 op. Project B kost €15 000 en levert €4 500, €6 000, €9 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €930. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €54,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 6,5%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €20 000 per jaar en variabele kosten van €10 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €27 500 per jaar en variabele kosten van €7 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €20 000vA = €10FB = €27 500vB = €7
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €17 per stuk, met variabele kosten van €12 per stuk en vaste kosten van €25 000 per jaar. De begrote afzet is 9 000 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €25 000p = €17v = €12begroting = 9 000
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 36180 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·9 = 108
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,382 = €36 180,06
Antwoord
PV = €36 180,06
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 39806 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 21 000/1,06 = 19 811,32
CF2/(1 + 0,06)2 = 15 000/1,124 = 13 349,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 19 000/1,191 = 15 952,77
CF4/(1 + 0,06)4 = 20 000/1,262 = 15 841,87
Optellen
NPV = €−10 044,09
Antwoord
NPV = €−10 044,09
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 11,17 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 6 000 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 9 000 − 2 500 = 6 500
IRR van het verschil
NPVΔ(11%) = 24,64
NPVΔ(12%) = −118,33
r* = 11,17%
Antwoord
r* = 11,17%
Controle: bij 11,17% zijn beide NCW’s €453,34.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1091 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,0175, N = 22
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,6827)/0,0175 = €407,93
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6827 = €682,72
Koers
P = €1 090,65
Antwoord
P = €1 090,65
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 7,491 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Antwoord
YTM = 7,491%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,419 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€54,50 = €272 500 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,3·5% = 8%
Gewichten
V = €277 750 000, E/V = 0,9811, D/V = 0,0189
WACC
WACC = 0,9811·8% + 0,0189·4%·(1 − 0,25) = 7,905%
Antwoord
WACC = 7,905%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
20 000 + 10Q = 27 500 + 7Q
Los Q op
Q = (27 500 − 20 000)/(10 − 7) = 2 500
Antwoord
Q = 2 500 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 44,44 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).