Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een blikje frisdrank van 4 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 28 °C gezet. Na 15 min is de temperatuur 18 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 23 °C te bereiken?
T0 = 4 °CTa = 28 °CT(15) = 18 °CT = 23 °C
t = min
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 2y′ + 5y = 10, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(1); hoeken in radialen.
y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3.IntegralenGemiddeld
Bereken I = ∫03 e−0,5x dx.
f(x) = e−0,5x[0, 3]
I =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 2x2 en y = 4x.
y = 2x2y = 4x
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = (−2x + 5)4. Bereken f′(2).
f(x) = (−2x + 5)4x = 2
f′(2) =
6.AfgeleidenMoeilijk
Gegeven f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 4. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.
f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 4
x =
7.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫03 √x·e−x dx met de regel van Simpson met n = 6 stroken. Geef S.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 6
S =
8.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,1 voor y′ = y(2 − y), y(0) = 1 om y4 ≈ y(0,4) te schatten.
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
y4 =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: t = 26,88 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Afkoelingsconstante
k = ln(-24/-10)/15 = 0,05836 min⁻¹
Tijd tot de doeltemperatuur
t = ln(-24/(−5))/0,05836 = 26,88 min
Antwoord
t = 26,88 min
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1) = 1,972
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Stationaire waarde en wortels
yss = 2, r = −1 ± 2j
Constanten uit de beginwaarden
y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −1
Bereken
y(1) = 2·(1 − e−1(cos 2 + 0,5·sin 2)) = 1,972
Antwoord
y(1) = 1,972
3.Integralen
Antwoord: I = 1,554
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Primitieve
F(x) = e−0,5x/(−0,5)
Grenzen invullen
I = (e−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554
Antwoord
I = 1,554
4.Integralen
Antwoord: A = 2,667
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Snijpunten
2x2 = 4x → x = 0, x = 2
Bovenste min onderste integreren
A = [2x2 − 0,6667x3]02 = 2,667
Antwoord
A = 2,667
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(2) = −8
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Kettingregel
f′(x) = 4·(−2x + 5)3·(−2)
Invullen
f′(2) = 4·13·(−2) = −8
Antwoord
f′(2) = −8
6.Afgeleiden
Antwoord: x = −3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Afgeleide
f′(x) = 3x2 + 6x − 9 = 3·(x2 + 2x − 3)
f′(x) = 0 oplossen
x = −3 of x = 1
Welke is welke
f″(x) = 6x + 6: negatief in een maximum, positief in een minimum.
f″(−3) = −12, f″(1) = 12
x = −3
Antwoord
x = −3
7.Numerieke methoden
Antwoord: S = 0,7554
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Knooppunten en waarden
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,428882 + 2·0,367879 + 4·0,273278 + 2·0,191393 + 4·0,129788 + 0,0862337 = 4,532568
Regel van Simpson
S = (0,5/3)·4,532568 = 0,7554
Antwoord
S = 0,7554
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
8.Numerieke methoden
Antwoord: y4 = 1,386
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1
y₂ = 1,1 + 0,1·(0,99) = 1,199
y₃ = 1,199 + 0,1·(0,960399) = 1,29504
y₄ = 1,29504 + 0,1·(0,912951) = 1,386335
Grafiek
y4 = 1,386
Antwoord
y4 = 1,386
De exacte waarde is y(0,4) = 1,379949.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations