Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Stel de bits zo in dat ze −47 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −478 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Een systeem moet elk van 785 items een eigen binaire code van gelijke lengte geven. Wat is het kleinste aantal bits b dat nodig is?

785

b = bit

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale product-van-sommenvorm (POS) van F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14) te vinden. Hoeveel somtermen (factoren) N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14)

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een synchrone mod-6-teller telt 0, 1, …, 5 en keert dan terug naar 0. Hij begint bij 5. Welke stand Q (decimaal) toont hij na 15 klokpulsen?

Q₀ = 515N = 6

Q =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 75 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 100 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in kHz.

f = 75 kHzf_s = 100 kHz

f_a = kHz

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een multiplexer met 8 kanalen voedt één ADC. Elke conversie duurt 8 µs, en na elke kanaalwissel heeft de ingang 5 µs nodig om in te stellen. De kanalen worden om de beurt zonder pauze afgetast. Bepaal de bemonsteringsfrequentie f_s van elk kanaal, in kHz.

n = 8t_c = 8 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 209

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

47 = 0010 1111

omgekeerd: 1101 0000

+1 → 1101 0001

Lezen zonder teken

1101 0001₂ = 256 − 47 = 209

Antwoord

U = 209

2.Talstelsels

Antwoord: b = 10 bit

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Machten van twee

2⁹ = 512 < 785

2¹⁰ = 1024 ≥ 785

Antwoord

b = 10

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 5

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de nullen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

(B + C′ + D′)

(A′ + D′)

(A′ + B + C′)

(A′ + B′ + C)

(A + B + C + D)

Minimale POS-vorm

F = (B + C′ + D′)(A′ + D′)(A′ + B + C′)(A′ + B′ + C)(A + B + C + D)

N = 5

Antwoord

N = 5

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: Q = 2

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Volledige cycli

Elke 6 pulsen brengen de teller terug in dezelfde toestand.

15 = 2·6 + 3

Stand na de resterende pulsen

Q = (5 + 3) mod 6 = 2

Q = 010₂

Antwoord

Q = 2

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 25 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 50 kHz < f = 75 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(75/100) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |75 − 1·100| = 25 kHz

Antwoord

f_a = 25 kHz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_s = 9,615 kHz

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Tijd per kanaal

8 + 5 = 13 µs

Tijd per scan

8·13 = 104 µs

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

f_s = 1/104 µs = 9,615 kHz

Antwoord

f_s = 9,615 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics