Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Het 8-bits patroon 1011 1011 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?
1011 10118 bit
N =
2.TalstelselsMoeilijk
Een ongecomprimeerde afbeelding is 512 × 512 pixels met 32 bits per pixel. Hoeveel geheugen M kost die, in KiB (1 KiB = 1024 bytes)?
512 × 512 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Vereenvoudig F = AC + A′BC + ABC′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
F = AC + A′BC + ABC′
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Een JK-flip-flop, getriggerd op de stijgende flank, begint met Q = 0 en krijgt bij 8 stijgende klokflanken de getoonde ingangen. Hoe vaak N verandert Q van toestand?
Q₀ = 0JK
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Bepaal de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR van een 6-bits ADC voor een sinus met volle uitsturing.
N = 6
SQNR = dB
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een blokgolf van 800 Hz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 8 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie fa verschijnt zijn harmonische 7f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.
f₁ = 800 Hzfs = 8 kHzharmonische: 7f₁
fa = Hz
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: N = −69
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Plaatswaarden optellen
De andere bits houden hun gewone positieve waarde.
−128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −69
Antwoord
N = −69
2.Talstelsels
Antwoord: M = 1024 KiB
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Bits en bytes
512·512·32 = 8388608 bit = 1048576 B
Omrekenen naar KiB
1048576/1024 = 1024 KiB
Antwoord
M = 1024 KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: L = 6
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Mintermen van de uitdrukking
AC → m(5, 7)
A′BC → m(3)
ABC′ → m(6)
Groepeer en lees af
F = BC + AC + AB
Tel de literals
L = 6
Antwoord
L = 6
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 5
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Q na elke flank
Een JK-flip-flop: 00 houdt vast, 01 reset (Q = 0), 10 zet (Q = 1), 11 wisselt.
1: J = 1, K = 1 → Q = 1
2: J = 0, K = 1 → Q = 0
3: J = 1, K = 0 → Q = 1
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 0, K = 0 → Q = 1
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 0, K = 1 → Q = 0
8: J = 1, K = 0 → Q = 1
Tel de veranderingen
0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0 → 0 → 1
N = 5
Antwoord
N = 5
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: SQNR = 37,88 dB
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Ideale SQNR
SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB
Antwoord
SQNR = 37,88 dB
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fa = 2400 Hz
Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.
Frequentie van de harmonische
7f₁ = 7·800 Hz = 5,6 kHz
Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie
m = round(0,7) = 1
Aliasfrequentie
fa = |5600 − 1·8000| = 2400 Hz
Antwoord
fa = 2400 Hz
De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics