Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Het 8-bits patroon 1101 0010 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?

1101 00108 bit

N =

2.TalstelselsMoeilijk

Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1110 1000 << 1. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?

1110 1000<< 1

R =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale som-van-productenvorm (SOP) van F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6) te vinden. Hoeveel literals L bevat die in totaal (een variabele met accent telt als één literal)?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 6)

L =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een 4-bits schuifregister Q₃Q₂Q₁Q₀ bevat 0001. Bij elke klokflank schuiven de bits één plaats naar rechts (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ gaat verloren) en komt de seriële ingang in Q₃. De seriële ingang is 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0 bij de 7 flanken. Geef de eindtoestand Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ als decimaal getal.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00011, 0, 1, 1, 1, 0, 0

Q =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een 12-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 5 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊V_in/LSB⌋ met 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 0,75 V.

N = 12V_FSR = 5 VV_in = 0,75 V

D =

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een microcontroller met een klok van 8 MHz stelt zijn UART-baudrate in als f_clk/(16·D), met D een geheel getal dat op de dichtstbijzijnde waarde is afgerond. De doelwaarde is 19200 baud. Bepaal de procentuele fout van de werkelijke baudrate (positief als hij te snel is).

f_clk = 8 MHzdoel = 19200 Bd

e = %

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: N = −46

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Plaatswaarden optellen

De andere bits houden hun gewone positieve waarde.

−128 + 64 + 16 + 2 = −46

Antwoord

N = −46

2.Talstelsels

Antwoord: R = 208

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Bit voor bit

Naar links schuiven met 1 verplaatst elke bit 1 plaatsen naar links; bits die links uit beeld vallen gaan verloren en rechts komen nullen binnen.

1110 1000 << 1

= 1101 0000

Waarde van het resultaat

1101 0000₂ = 208

Antwoord

R = 208

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 5

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de enen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

B′

A′C

AC′

Minimale SOP-vorm

F = B′ + A′C + AC′

L = 5

Antwoord

L = 5

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: Q = 3

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Toestand na elke flank

0001 → 1000 → 0100 → 1010 → 1101 → 1110 → 0111 → 0011

Decimale waarde

0011₂ = 3

Antwoord

Q = 3

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 614

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 5/2¹² = 1,221 mV

Code

V_in/LSB = 750/1,221 = 614,4

code = ⌊614,4⌋ = 614

Antwoord

D = 614

In binair is dat 001001100110.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: e = 0,1603 %

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Deler

D = 8·10⁶/(16·19200) = 26,04 → 26

Werkelijke baudrate

8·10⁶/(16·26) = 19231 Bd

Fout

(19231 − 19200)/19200·100 = 0,1603 %

Antwoord

e = 0,1603 %

Een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics